1) What is the area of the circle and the length of its enclosing circumference if the side of the inscribed

Peschanaya_Zmeya

49

1) Сначала найдем радиус описанной окружности вокруг равностороннего треугольника. Радиус описанной окружности в равностороннем треугольнике равен половине стороны треугольника. Здесь сторона треугольника равна 5√3 см, значит радиус описанной окружности равен (5√3)/2 см.

Площадь круга можно найти по формуле \(S = \pi r^2\), где \(r\) - радиус окружности. Вставляя найденное значение радиуса, мы получим \(S = \pi \cdot \left(\frac{5\sqrt{3}}{2}\right)^2\). Вычисляя данное выражение получаем \(S = \frac{75\pi}{4}\) см².

Длина окружности можно найти по формуле \(C = 2\pi r\). Вставляя найденное значение радиуса, мы получим \(C = 2\pi \cdot \frac{5\sqrt{3}}{2}\). Вычисляя данное выражение получаем \(C = 5\pi\sqrt{3}\) см.

Таким образом, площадь описанной окружности равна \(\frac{75\pi}{4}\) см², а длина окружности равна \(5\pi\sqrt{3}\) см.

2) Чтобы найти длину дуги окружности, используем формулу \(L = \frac{{\theta}}{{360^\circ}} \cdot 2\pi r\), где \(L\) - длина дуги окружности, \(\theta\) - ее угловая мера в градусах, \(r\) - радиус.

Подставляя значения, получаем \(L = \frac{{120}}{{360^\circ}} \cdot 2\pi \cdot 4\). Вычисляя данное выражение, получаем \(L = \frac{{8\pi}}{{3}}\) см.

Чтобы найти площадь соответствующего сектора, используем формулу \(S = \frac{{\theta}}{{360^\circ}} \cdot \pi r^2\), где \(S\) - площадь сектора, \(\theta\) - его угловая мера в градусах, \(r\) - радиус.

Подставляя значения, получаем \(S = \frac{{120}}{{360^\circ}} \cdot \pi \cdot 4^2\). Вычисляя данное выражение, получаем \(S = \frac{{16\pi}}{{3}}\) см².

Таким образом, длина дуги окружности составляет \(\frac{{8\pi}}{{3}}\) см, а площадь соответствующего сектора равна \(\frac{{16\pi}}{{3}}\) см².

3) Периметр описанного около равностороннего треугольника шестиугольника равен пятнадцати сторонам треугольника. Длина стороны равностороннего треугольника равна \(6\sqrt{3}\) дм, следовательно, периметр равностороннего треугольника равен \(18\sqrt{3}\) дм.

Так как шестиугольник состоит из 6 равносторонних треугольников, то периметр шестиугольника будет равен \(6 \cdot 18\sqrt{3}\) дм. Выполняя вычисления, получаем \(P = 108\sqrt{3}\) дм.

Таким образом, периметр шестиугольника, описанного около данной окружности, равен \(108\sqrt{3}\) дм.

4) Площадь закрашенной фигуры можно найти как разность площадей сектора и треугольника.

Найдем сначала площадь сектора. Его угол измеряется 30°, радиус окружности равен BC = 4 см. Используем формулу \(S = \frac{{\theta}}{{360^\circ}} \cdot \pi r^2\), где \(S\) - площадь сектора, \(\theta\) - угловая мера сектора, \(r\) - радиус окружности.

Подставляя значения, получаем \(S_{\text{{сектора}}} = \frac{{30}}{{360^\circ}} \cdot \pi \cdot 4^2\). Вычисляя данное выражение, получаем \(S_{\text{{сектора}}} = \frac{{8\pi}}{{3}}\) см².

Затем найдем площадь треугольника ABC. Известно, что угол BAC = 30°, сторона BC = 4 см. Можно использовать формулу \(S = \frac{{1}}{{2}} \cdot \text{{сторона}} \cdot \text{{высота}}\), где \(S\) - площадь треугольника, \(\text{{сторона}}\) - одна сторона треугольника, \(\text{{высота}}\) - высота, проведенная к этой стороне.

Высота, проведенная к стороне BC, является биссектрисой угла BAC и разделяет треугольник на два равнобедренных треугольника ABC и BAC.

Таким образом, площадь треугольника ABC равна \(S_{\text{{треугольника}}} = 2 \cdot \frac{{1}}{{2}} \cdot \frac{{4}}{{2}} \cdot \overline{{AC}} = \overline{{AC}}\).

Теперь найдем длину стороны AC, используя теорему косинусов. В треугольнике ABC у нас есть известная сторона BC = 4 см, известный угол BAC = 30° и угол ABC = 180° - (90° + 30°) = 60°.

Теорема косинусов гласит: \(\overline{{AC}}^2 = \overline{{BC}}^2 + \overline{{AB}}^2 - 2 \cdot \overline{{BC}} \cdot \overline{{AB}} \cdot \cos\angle ABC\).

Подставляем значения: \(\overline{{AC}}^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \cos 60°\). Вычисляя данное выражение, получаем \(\overline{{AC}}^2 = 16 + 16 - 32 \cdot \frac{1}{2} = 16\).

Найдем квадратный корень из обоих сторон: \(\overline{{AC}} = \sqrt{16} = 4\) см.

Таким образом, площадь треугольника ABC равна \(S_{\text{{треугольника}}} = \overline{{AC}} = 4\) см².

Итак, площадь закрашенной фигуры будет равна разности площадей сектора и треугольника: \(S_{\text{{закрашенной фигуры}}} = S_{\text{{сектора}}} - S_{\text{{треугольника}}} = \left(\frac{{8\pi}}{{3}}\right) - 4\) см².