Какова длина одного из катетов прямоугольного треугольника, если его площадь равна 128 корней из 3 и один из острых

Baska

24

Чтобы найти длину одного из катетов прямоугольного треугольника, зная его площадь и угол, нам понадобится использовать некоторые свойства и формулы для прямоугольных треугольников.

Для начала, давайте вспомним, как вычисляется площадь прямоугольного треугольника. Площадь треугольника можно выразить через длины его сторон следующим образом:

\[Площадь = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}\]

В случае прямоугольного треугольника, один из катетов может быть выбран в качестве основания, а другой катет - в качестве высоты. Но для начала, нам нужно найти длину основания (катета), и для этого мы использовать будем формулу синуса, т.к. нам дан угол.

Формула синуса для прямоугольного треугольника имеет вид:

\[\sin(\text{острый угол}) = \frac{\text{противоположный катет}}{\text{гипотенуза}}\]

В нашей задаче угол составляет 60°, поэтому мы можем записать:

\[\sin(60°) = \frac{\text{противоположный катет}}{\text{гипотенуза}}\]

60° - это угол, находящийся напротив противоположного катета. Синус 60° равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), но нам нужно найти противоположный катет. Пусть \(x\) - это длина катета, тогда:

\[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{x}{\text{гипотенуза}}\]

Теперь, чтобы найти гипотенузу, мы можем использовать формулу Пифагора для прямоугольного треугольника:

\[\text{гипотенуза}^2 = \text{катет}^2 + \text{катет}^2\]

Так как у нас есть площадь треугольника, которую мы можем использовать, мы можем записать еще одно уравнение:

\[\text{площадь} = \frac{1}{2} \times \text{катет} \times \text{катет}\]

В нашем случае мы знаем, что площадь равна \(128 \sqrt{3}\), поэтому мы можем записать:

\[128 \sqrt{3} = \frac{1}{2} \times \text{катет} \times \text{катет}\]

Таким образом, у нас есть два уравнения:

\[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{x}{\text{гипотенуза}}\]
\[128 \sqrt{3} = \frac{1}{2} \times \text{катет} \times \text{катет}\]

Из первого уравнения мы можем выразить \(\text{гипотенузу}\) через \(x\):

\[\text{гипотенуза} = \frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\]

И теперь мы можем заменить \(\text{гипотенузу}\) во втором уравнении:

\[128 \sqrt{3} = \frac{1}{2} \times \text{катет} \times \text{катет}\]
\[128 \sqrt{3} = \frac{1}{2} \times x \times x\]

Теперь, решив это уравнение, мы сможем найти длину катета \(x\). Путем упрощения и решения уравнения можно получить:

\[x^2 = \frac{128 \sqrt{3}}{ \frac{1}{2}}\]
\[x^2 = 256 \sqrt{3}\]
\[x = \sqrt{256 \sqrt{3}}\]

Но что такое \(\sqrt{256 \sqrt{3}}\)? Чтобы упростить этот корень, заметим, что 256 - это квадрат 16. Так что мы можем записать:

\[x = \sqrt{16^2 \sqrt{3}}\]
\[x = \sqrt{(16 \times \sqrt{3})^2}\]
\[x = 16 \sqrt{3}\]

Итак, длина одного из катетов прямоугольного треугольника равна \(16 \sqrt{3}\).