1. What is the height and lengths of the legs of a right angled triangle where the hypotenuse is divided by the height

Mandarin

39

Конечно, я помогу вам с этими задачами! Давайте решим их по одной, чтобы убедиться, что каждый шаг понятен.

1. Нам дано, что гипотенуза прямоугольного треугольника делится высотой на отрезки длиной 16 и 256. Пусть \(h\) - это высота, а \(a\) и \(b\) - длины катетов.

Мы можем применить теорему Пифагора для нахождения значений \(a\) и \(b\). Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

\[c^2 = a^2 + b^2\]

Так как гипотенуза делится высотой на отрезки длиной 16 и 256, то мы можем записать два уравнения:

\[h \cdot 16 = a\]
\[h \cdot 256 = b\]

Подставим значения \(a\) и \(b\) в уравнение Пифагора:

\[c^2 = (h \cdot 16)^2 + (h \cdot 256)^2\]

\[c^2 = 256h^2 + 65536h^2\]

\[c^2 = 65792h^2\]

Теперь найдем значение \(h\), деля гипотенузу на высоту:

\[\frac{c}{h} = \sqrt{65792}\]

\[h = \frac{c}{\sqrt{65792}}\]

Теперь мы можем подставить значение \(h\) в уравнения для \(a\) и \(b\), чтобы найти длины катетов:

\[a = h \cdot 16\]
\[b = h \cdot 256\]

2. Мы можем применить те же шаги для этой задачи. Пусть \(h\) - это высота, а \(a\) и \(b\) - длины катетов.

Уравнения, основывающиеся на условии задачи:

\[h \cdot 49 = a\]
\[h \cdot 169 = b\]

Уравнение Пифагора:

\[c^2 = (h \cdot 49)^2 + (h \cdot 169)^2\]

\[c^2 = 2401h^2 + 28561h^2\]

\[c^2 = 30962h^2\]

Найдем значение \(h\):

\[\frac{c}{h} = \sqrt{30962}\]

\[h = \frac{c}{\sqrt{30962}}\]

Теперь подставим значение \(h\) в уравнения для \(a\) и \(b\):

\[a = h \cdot 49\]
\[b = h \cdot 169\]

3. Применим те же шаги:
\[h \cdot 81 = a\]
\[h \cdot 81 = b\]

Уравнение Пифагора:
\[c^2 = (h \cdot 81)^2 + (h \cdot 81)^2\]

\[c^2 = 6561h^2 + 6561h^2\]

\[c^2 = 13122h^2\]

Найдем значение \(h\):
\[\frac{c}{h} = \sqrt{13122}\]

\[h = \frac{c}{\sqrt{13122}}\]

Теперь подставим значение \(h\) в уравнения для \(a\) и \(b\):
\[a = h \cdot 81\]
\[b = h \cdot 81\]

Вот и все решения! Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать. Я всегда буду готов помочь!