Який об єм має піраміда, що має трикутник зі сторонами 6 см, 5 см, 5 см за основою і бічні грані, які утворюють

Белка

54

Задача заключается в вычислении объема пирамиды, для этого нам понадобится выражение вида \(V = \frac{1}{3}S \cdot h\), где \(S\) - площадь основания пирамиды, а \(h\) - высота пирамиды.

Для начала найдем площадь основания \(S\). У нас дан треугольник с сторонами 6 см, 5 см и 5 см. Понадобится применить формулу Герона для вычисления площади треугольника:

\[S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\]

где \(p\) - полупериметр треугольника, \(a\), \(b\) и \(c\) - его стороны.

Вычислим полупериметр треугольника:

\[p = \frac{a + b + c}{2}\]

Подставим значения сторон треугольника в формулу полупериметра:

\[p = \frac{6 + 5 + 5}{2} = 8\]

Теперь найдем площадь основания:

\[S = \sqrt{8(8 - 6)(8 - 5)(8 - 5)} = \sqrt{8 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3} = \sqrt{144} = 12\]

Теперь нужно найти высоту пирамиды \(h\). Для этого нам понадобятся боковые грани, которые образуют угол 45 градусов с основанием. У нас есть две боковые грани такого вида. Обратимся к геометрии. В пирамиде все боковые грани равны и равны треугольникам, причем боковые ребра пирамиды образуют угол прямой. Таким образом получим прямоугольный треугольник с катетами равными 5 см.

Из свойств прямоугольных треугольников мы знаем, что гипотенуза равна \(\sqrt{a^2 + b^2}\), где \(a\) и \(b\) - катеты. В нашем случае гипотенузой будет являться боковое ребро пирамиды, а его длина будет равна:

\[\sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\]

Теперь у нас есть все данные для вычисления высоты пирамиды \(h\).

Найдем высоту, применяя теорему Пифагора:

\[h = \sqrt{(5\sqrt{2})^2 - \left(\frac{5}{2}\right)^2} = \sqrt{50 - \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{200}{4} - \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{175}{4}} = \frac{\sqrt{175}}{2}\]

Итак, площадь основания \(S = 12\) квадратных см, а высота пирамиды \(h=\frac{\sqrt{175}}{2}\) см. Теперь мы можем вычислить объем пирамиды, подставив значения в формулу:

\[V = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{175}}{2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{12 \sqrt{175}}{2} = \frac{6 \sqrt{175}}{6} = \sqrt{175}\]

Таким образом, объем пирамиды равен \(\sqrt{175}\) кубических сантиметров.