1) What is the number of different permutations of the letters in the word isosceles in which three letters

Янтарное

48

Задача 1:
Чтобы решить эту задачу, мы должны понять, какие ограничения есть на перестановку букв в слове "isosceles". Данное слово содержит две буквы "o", две буквы "s", две буквы "e" и по одной букве "i", "c" и "l".
Исходя из условия задачи, нам нужно найти количество перестановок, в которых три буквы "s" стоят подряд, а две буквы "e" не стоят подряд. Решим задачу по шагам:

Шаг 1: Расставим все буквы, кроме "s" и "e".
Необходимо расставить 7 букв, учитывая, что две буквы "o" и две буквы "e" не могут стоять рядом. Для этого воспользуемся формулой комбинаторики.
\(\frac{{7!}}{{2! \cdot 2!}} = 210\)

Шаг 2: Расставим буквы "s".
Теперь у нас есть пять мест, где можно разместить три буквы "s" подряд. Воспользуемся формулой для размещений:
\(A_{5}^{3} = \frac{{5!}}{{(5-3)!}} = 60\)

Шаг 3: Расставим буквы "e".
Теперь у нас осталось только две буквы "e", которые не должны стоять рядом. Рассмотрим два случая:
- Случай 1: Буквы "e" находятся по разные стороны от букв "s".
В этом случае буквы "e" могут быть размещены в любой из пяти пустых ячеек между буквами "s" или с обеих сторон от них. Воспользуемся формулой для комбинаторики:
\(\binom{5}{2} = \frac{{5!}}{{2! \cdot (5-2)!}} = 10\)

- Случай 2: Буквы "e" находятся рядом с одной из букв "s".
В этом случае буквы "e" могут занять любое из трех мест рядом с одной из букв "s". Воспользуемся формулой для комбинаторики:
\(\binom{3}{1} = \frac{{3!}}{{1! \cdot (3-1)!}} = 3\)

Шаг 4: Умножим все значения друг на друга, чтобы получить итоговое количество перестановок.
\(210 \cdot 60 \cdot (10 + 3) = 378,000\)

Таким образом, количество различных перестановок букв в слове "isosceles", в которых три буквы "s" стоят подряд, а две буквы "e" не стоят подряд, равно 378,000.

Задача 2:
Для решения этой задачи нам нужно определить общее количество возможных перестановок букв в слове "isosceles", где две буквы "e" не находятся рядом. Затем мы должны определить количество перестановок, где три буквы "s" стоят подряд.
Разделим количество перестановок, где три буквы "s" стоят подряд, на общее количество перестановок с ограничением на расположение букв "e" и округлим ответ до ближайшей десятитысячной.

Шаг 1: Расставим все буквы, кроме "s" и "e".
Аналогично первой задаче, нам нужно найти количество перестановок для 7 букв, учитывая, что две буквы - это "o" и две буквы - "e", не стоят рядом. Используем формулу комбинаторики:
\(\frac{{7!}}{{2! \cdot 2!}} = 210\)

Шаг 2: Определим количество перестановок, где три буквы "s" стоят подряд.
Используем формулу для размещений:
\(A_{5}^{3} = \frac{{5!}}{{(5-3)!}} = 60\)

Шаг 3: Определим общее количество перестановок, где две буквы "e" не находятся рядом.
Разделим количество перестановок для букв без ограничений на количество перестановок с ограничением. Используем формулу для комбинаторики:
\(\frac{{\frac{{7!}}{{2! \cdot 2!}}}}{{\frac{{7! - 2!}}{{2! \cdot 2!}}}} = \frac{{210}}{{\frac{{5!}}{{2! \cdot 2!}}}} = 21\)

Шаг 4: Разделим количество перестановок, где три буквы "s" стоят подряд, на общее количество перестановок.
\(\frac{{60}}{{21}} \approx 2.8571\)

Ответ: Вероятность того, что три буквы "s" будут стоять подряд, при условии, что две буквы "e" не будут соседствовать, округленная до ближайшей десятитысячной, равна 0.2857