В каких системах счисления число 401021 может существовать с основаниями 2 и 5, 3 и 4, 5 и

Alekseevich

58

Чтобы определить, в каких системах счисления число 401021 может существовать с указанными основаниями, мы можем разложить число на сумму степеней основания.

Для начала, представим число 401021 в виде формулы:

\[4 \cdot (основание^{5}) + 0 \cdot (основание^{4}) + 1 \cdot (основание^{3}) + 0 \cdot (основание^{2}) + 2 \cdot (основание^{1}) + 1 \cdot (основание^{0})\]

Теперь мы можем рассмотреть каждое основание по отдельности и определить, когда значение числа 401021 будет верным.

1. Основание равно 2 и 5:
Если основание равно 2, мы имеем:
\(4 \cdot (2^{5}) + 0 \cdot (2^{4}) + 1 \cdot (2^{3}) + 0 \cdot (2^{2}) + 2 \cdot (2^{1}) + 1 \cdot (2^{0}) = 64 + 0 + 8 + 0 + 2 + 1 = 75\)

Если основание равно 5, мы имеем:
\(4 \cdot (5^{5}) + 0 \cdot (5^{4}) + 1 \cdot (5^{3}) + 0 \cdot (5^{2}) + 2 \cdot (5^{1}) + 1 \cdot (5^{0}) = 3125 + 0 + 125 + 0 + 10 + 1 = 4261\)

В обоих случаях число 401021 не получается.

2. Основание равно 3 и 4:
Если основание равно 3, мы имеем:
\(4 \cdot (3^{5}) + 0 \cdot (3^{4}) + 1 \cdot (3^{3}) + 0 \cdot (3^{2}) + 2 \cdot (3^{1}) + 1 \cdot (3^{0}) = 972 + 0 + 27 + 0 + 6 + 1 = 1006\)

Если основание равно 4, мы имеем:
\(4 \cdot (4^{5}) + 0 \cdot (4^{4}) + 1 \cdot (4^{3}) + 0 \cdot (4^{2}) + 2 \cdot (4^{1}) + 1 \cdot (4^{0}) = 4096 + 0 + 64 + 0 + 8 + 1 = 4169\)

В обоих случаях число 401021 не получается.

3. Основание равно 5 и 6:
Если основание равно 5, мы имеем:
\(4 \cdot (5^{5}) + 0 \cdot (5^{4}) + 1 \cdot (5^{3}) + 0 \cdot (5^{2}) + 2 \cdot (5^{1}) + 1 \cdot (5^{0}) = 3125 + 0 + 125 + 0 + 10 + 1 = 4261\)

Если основание равно 6, мы имеем:
\(4 \cdot (6^{5}) + 0 \cdot (6^{4}) + 1 \cdot (6^{3}) + 0 \cdot (6^{2}) + 2 \cdot (6^{1}) + 1 \cdot (6^{0}) = 7776 + 0 + 216 + 0 + 12 + 1 = 8205\)

В обоих случаях число 401021 не получается.

Итак, число 401021 может существовать только в системе счисления с основанием равным 7. Подставим основание 7 в формулу:

\(4 \cdot (7^{5}) + 0 \cdot (7^{4}) + 1 \cdot (7^{3}) + 0 \cdot (7^{2}) + 2 \cdot (7^{1}) + 1 \cdot (7^{0}) = 16384 + 0 + 343 + 0 + 14 + 1 = 16842\)

В системе счисления с основанием 7, число 401021 будет равно 16842.