1) Which equation represents the circle shown in the picture: A) (x+2)^2+(y-3)^2=2; B) (x-2)^2+(y+3)^2=2

Cherepashka_Nindzya

42

1) Уравнение, которое представляет данный круг на рисунке, A) (x+2)^2+(y-3)^2=2; B) (x-2)^2+(y+3)^2=2; C) (x+2)^2+(y-3)^2=4; D) (x-2)^2+(y+3)^2=4. Чтобы определить правильное уравнение, нам нужно сравнить координаты центра круга и радиус с заданными. Заданный круг имеет центр (-2, 3) и радиус равный 2. А, значит, уравнение, которое его представляет, это C) (x+2)^2+(y-3)^2=4.

2) Чтобы найти координаты точки B, зная координаты точек A(-5;3) и M(2;4) и предполагая, что M является серединой отрезка AB, мы можем использовать формулу середины отрезка. Формула выглядит следующим образом:
\[ x_B = 2 \cdot x_M - x_A \]
\[ y_B = 2 \cdot y_M - y_A \]
Подставляя значения, получим:
\[ x_B = 2 \cdot 2 - (-5) = 9 \]
\[ y_B = 2 \cdot 4 - 3 = 5 \]
Таким образом, координаты точки B равны (9;5).

3) Чтобы построить окружность, соответствующую уравнению x^2+10x+y^2-6y+34=4, нужно привести уравнение к стандартному виду окружности. Сначала избавимся от константы 34, вычтя её из обеих сторон уравнения:
\[ x^2 + 10x + y^2 - 6y = -30 \]
Затем добавим комплетирование квадрата внутри скобок для x и y:
\[ (x^2 + 10x + 25) + (y^2 - 6y + 9) = -30 + 25 + 9 \]
\[ (x + 5)^2 + (y - 3)^2 = 4 \]
Таким образом, уравнение соответствует окружности с центром (-5, 3) и радиусом 2.

4) Чтобы определить, принадлежат ли точки A(-3;5) и B(-2;1) данному кругу (x-2)^2+(y-5)^2=25, мы можем подставить значения координат этих точек в уравнение окружности и проверить, выполняется ли оно.
Для точки A:
\[ (-3-2)^2 + (5-5)^2 = 25 \]
\[ (-5)^2 + 0^2 = 25 \]
\[ 25 = 25 \]
Уравнение выполняется, поэтому точка A принадлежит данному кругу.
Для точки B:
\[ (-2-2)^2 + (1-5)^2 = 25 \]
\[ (-4)^2 + (-4)^2 = 25 \]
\[ 16 + 16 = 25 \]
\[ 32 \neq 25 \]
Уравнение не выполняется, поэтому точка B не принадлежит данному кругу.

5) Для определения типа треугольника и нахождения его периметра, используем формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат. Расстояние между двумя точками (x_1, y_1) и (x_2, y_2) равно:
\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Определим длины сторон треугольника, используя координаты вершин. Пусть стороны треугольника обозначены как AB, BC и AC.

AB:
\[ d_{AB} = \sqrt{(1 - 0)^2 + (-4 - 1)^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26} \]

BC:
\[ d_{BC} = \sqrt{(5 - 1)^2 + (2 - (-4))^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \]

AC:
\[ d_{AC} = \sqrt{(5 - 0)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26} \]

Теперь определим тип треугольника. Треугольник ABC является разносторонним треугольником, так как все стороны имеют разные длины ( AB = \(\sqrt{26}\), BC = \(2\sqrt{13}\), AC = \(\sqrt{26}\)).

Наконец, найдем периметр треугольника, который представляет сумму длин его сторон:
\[ Периметр = AB + BC + AC = \sqrt{26} + 2\sqrt{13} + \sqrt{26} = 2\sqrt{26} + 2\sqrt{13} \]