1. Як багато п’ятицифрових чисел можна скомпонувати з цифр 1, 2, 3, 4 і 5, але не можуть починатися з числа 45?

Yagodka

64

Задача 1: Як багато п’ятицифрових чисел можна скомпонувати з цифр 1, 2, 3, 4 і 5, але не можуть починатися з числа 45?

Для розв"язання цієї задачі скористаємось принципом множення.

Оскільки числа не можуть починатись з 45, перша цифра може бути лише 1, 2, 3 або 4. Ми маємо 4 варіанти для першої цифри.

Для другої цифри у нас залишається 4 варіанти (ми можемо вибрати будь-яку цифру, окрім тієї, яка вже була вибрана для першої цифри).

Таким самим чином, ми маємо 3 варіанти для третьої цифри, 2 варіанти для четвертої цифри і 1 варіант для п"ятої цифри.

Застосувавши принцип множення, отримаємо загальну кількість п’ятицифрових чисел:

\[4 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 96\]

Отже, можна скомпонувати 96 п’ятицифрових чисел з цифр 1, 2, 3, 4 і 5, але не починаючи з числа 45.

Задача 2: У одного учня є 6 різних книг, а у другого - 7. Скількома способами можна обміняти 3 книги першого учня на 3 книги другого учня?

Для розв"язання цієї задачі скористаємось комбінаторикою та початковим комбінаторним принципом.

Ми маємо 6 книг у першого учня і 7 книг у другого учня, і ми маємо обміняти 3 книги з першого учня на 3 книги з другого учня.

Аби знайти кількість способів обміну, ми будемо використовувати комбінаторний принцип.

Запишемо комбінацію для першого учня \(C(6, 3)\), що означає "6 по 3". Це означає, що ми вибираємо 3 книги зі 6 доступних.

Аналогічно, для другого учня запишемо комбінацію \(C(7, 3)\), що означає "7 по 3".

Отже, застосовуємо формулу для комбінацій:

\[C(6, 3) \times C(7, 3) = \frac{{6!}}{{3! \cdot (6-3)!}} \times \frac{{7!}}{{3! \cdot (7-3)!}}\]

\[= \frac{{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}}{{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}\]

\[= 20 \times 35 = 700\]

Отже, існує 700 способів обміняти 3 книги першого учня на 3 книги другого учня.