Каковы наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=x^2+4/x на интервале [-4;-1]?

Дмитриевна

14

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции \(f(x) = x^2 + \frac{4}{x}\) на интервале \([-4;-1]\), мы можем использовать исследование функции.

1. Найдем производную \(f"(x)\) функции \(f(x)\):
\[f"(x) = 2x - \frac{4}{x^2}\]

2. Решим уравнение \(f"(x) = 0\), чтобы найти критические точки функции:
\[2x - \frac{4}{x^2} = 0\]
\[2x = \frac{4}{x^2}\]
\[x^3 = 2\]
\[x = \sqrt[3]{2}\]

3. Найдем значение функции \(f(x)\) в найденной критической точке и на границах интервала:
\(f(x)\) в точке \(x = \sqrt[3]{2}\):
\[f(\sqrt[3]{2}) = (\sqrt[3]{2})^2 + \frac{4}{\sqrt[3]{2}}\]

\(f(x)\) при \(x = -4\):
\[f(-4) = (-4)^2 + \frac{4}{-4} = 16 - 1 = 15\]

\(f(x)\) при \(x = -1\):
\[f(-1) = (-1)^2 + \frac{4}{-1} = 1 - 4 = -3\]

4. Теперь оценим значение функции \(f(x)\) на бесконечности, возрастанием и убыванием:
При \(x \to -\infty\):
\[f(x) = x^2 + \frac{4}{x} \to +\infty\]

При \(x \to +\infty\):
\[f(x) = x^2 + \frac{4}{x} \to +\infty\]

5. Сводим информацию о значениях функции на интервале в таблицу:

\[
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
Точка/Интервал & Значение функции \(f(x)\) \\
\hline
\(\sqrt[3]{2}\) & \(f(\sqrt[3]{2})\) \\
\hline
-4 & 15 \\
\hline
-1 & -3 \\
\hline
-\(\infty\) & +\(\infty\) \\
\hline
+\(\infty\) & +\(\infty\) \\
\hline
\end{tabular}
\]

Таким образом, наибольшее значение функции \(f(x) = x^2 + \frac{4}{x}\) на интервале \([-4;-1]\) равно 15 и достигается при \(x = -4\), а наименьшее значение равно -3 и достигается при \(x = -1\).