1) Як розв язати рівняння: 5 піднесене до степені x плюс 5 піднесене до степені 1-x дорівнює 6? 2) Як розв язати

Андрей

45

Задача 1) для розв"язання рівняння \(5^x + 5^{1-x} = 6\) можна використати метод підстановки. Давайте замінимо \(5^x\) на \(t\) і спробуємо записати рівняння в нових термінах:

\[t + \frac{5}{t} = 6\]

Тепер ми маємо квадратне рівняння. Перепишемо його у стандартній формі:

\[t^2 - 6t + 5 = 0\]

Тепер використаємо квадратне рівняння, щоб знайти значення \(t\). Застосуємо квадратний корінь:

\[t = \frac{6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}\]

Спростимо вираз:

\[t = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}\]

\[t = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2}\]

\[t = \frac{6 \pm 4}{2}\]

Тепер виконаємо обидва випадки:

Випадок 1: \(t = \frac{6 + 4}{2} = 5\)

Випадок 2: \(t = \frac{6 - 4}{2} = 1\)

Випадок 1: \(5^x = 5\)

Застосуємо логарифмування до обох сторін рівняння:

\(\log_5(5^x) = \log_5(5)\)

\(x = 1\)

Випадок 2: \(5^x = 1\)

Ця рівність справедлива тільки в одному випадку, коли \(x = 0\)

Отже, розв"язки рівняння \(5^x + 5^{1-x} = 6\) - це \(x = 0\) і \(x = 1\).

Задача 2) для розв"язання рівняння \(6^x + 6^{1-x}\) потрібно використати той самий метод підстановки. Проведемо подібні дії:

Замінимо \(6^x\) на \(t\):

\[t + \frac{6}{t} = 6\]

Тепер ми знову маємо квадратне рівняння. Перепишемо його у стандартній формі:

\[t^2 - 6t + 6 = 0\]

Використовуємо квадратне рівняння, щоб знайти значення \(t\). Застосуємо квадратний корінь:

\[t = \frac{6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}\]

Спростимо вираз:

\[t = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2}\]

\[t = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2}\]

\[t = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{2}\]

\[t = 3 \pm \sqrt{3}\]

Випадок 1: \(t = 3 + \sqrt{3}\)

\((6^x = 3 + \sqrt{3})\)

Застосуємо логарифмування до обох сторін рівняння:

\(\log_6(6^x) = \log_6(3 + \sqrt{3})\)

\(x = \log_6(3 + \sqrt{3})\)

Випадок 2: \(t = 3 - \sqrt{3}\)

\((6^x = 3 - \sqrt{3})\)

Застосуємо логарифмування до обох сторін рівняння:

\(\log_6(6^x) = \log_6(3 - \sqrt{3})\)

\(x = \log_6(3 - \sqrt{3})\)

Отже, розв"язки рівняння \(6^x + 6^{1-x}\) - це \(x = \log_6(3 + \sqrt{3})\) і \(x = \log_6(3 - \sqrt{3})\).