Какова длина высоты равностороннего треугольника, если длина его стороны составляет корень?

Pylayuschiy_Zhar-ptica

41

Длина высоты равностороннего треугольника может быть найдена с использованием свойств равностороннего треугольника и теоремы Пифагора.

1. Понимание равностороннего треугольника:
Равносторонний треугольник - это треугольник, у которого все стороны имеют одинаковую длину. В данной задаче предполагается, что сторона равностороннего треугольника имеет длину \(\sqrt{3}\).

2. Нахождение высоты равностороннего треугольника:
Так как мы знаем, что высота рассекает основание (сторону) равностороннего треугольника перпендикулярно, то мы можем разделить равносторонний треугольник на два равнобедренных треугольникa. Каждый из этих равнобедренных треугольников - это прямой треугольник, в котором одно основание равно стороне равностороннего треугольника, а высота является высотой равностороннего треугольника.

3. Использование теоремы Пифагора:
В равнобедренном прямоугольном треугольнике, высота является биссектрисой основания, что значит, что она делит основание наглухо на две равные части. Поэтому мы можем нарисовать высоту и использовать теорему Пифагора для нахождения длины высоты.

Давайте начнем с построения равностороннего треугольника и высоты. У нас есть следующий равносторонний треугольник:

\[
\begin{equation*}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) -- (2,0) -- (1,1.732) -- cycle; %triangle
\draw[dashed] (1,0) -- (1,1.732); %height
\draw (1,0) node[below] {$\sqrt{3}$}; % side length
\draw (1,-0.2) node[below] {Основание}; %base
\draw (1,1.932) node[right] {Высота}; %height
\end{tikzpicture}
\end{equation*}
\]

Мы видим, что основание равностороннего треугольника составляет длину \(\sqrt{3}\). Теперь нарисуем высоту, которая перпендикулярна основанию. Мы получим два равнобедренных прямоугольных треугольника, одно основание которых равносторонний треугольник, а другое основание - длина высоты в равностороннем треугольнике.

\[
\begin{equation*}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) -- (2,0) -- (1,1.732) -- cycle; %triangle
\draw[dashed] (1,0) -- (1,1.732); %height
\draw (1,-0.2) node[below] {Основание}; %base
\draw (1,1.932) node[right] {Высота}; %height
\draw[dashed] (1,-0.2) -- (1,0.8); %altitude base
\draw (1,0.8) -- (1.2,0.8) -- (1.2,1); %altitude height
\draw (1.2,1) -- (1,1.2) -- (0.8,1.2); %altitude base
\draw[dashed] (0.8,1.2) -- (0.8,0); %altitude height
\end{tikzpicture}
\end{equation*}
\]

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину высоты равностороннего треугольника. По теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике с катетами \(a\) и \(b\) и гипотенузой \(c\), справедливо следующее уравнение:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

В нашем случае, одно основание равностороннего треугольника является \(a\), а высота равностороннего треугольника - \(b\), поэтому у нас есть:

\[c^2 = (\sqrt{3})^2 + b^2\]
\[c^2 = 3 + b^2\]

Так как нас интересует длина высоты, заменим \(c\) на \(h\) (от "высота"). Получим:

\[h^2 = 3 + b^2\]

Задача состоит в нахождении длины высоты, поэтому нам нужно найти \(h\). Для этого нам нужно сначала найти \(b^2\). Мы знаем, что сторона равностороннего треугольника составляет \(\sqrt{3}\), а \(b\) - длина высоты в равнобедренном треугольнике. В равнобедренном треугольнике длина биссектрисы является средней линией, которая делит основание на две равные части.

Таким образом, можно записать:

\(\sqrt{3} = 2 \cdot b\)

Теперь мы можем найти \(b\):

\(b = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Теперь, заменим \(b\) в уравнении \(h^2 = 3 + b^2\):

\[h^2 = 3 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\]
\[h^2 = 3 + \frac{3}{4}\]
\[h^2 = \frac{12}{4} + \frac{3}{4}\]
\[h^2 = \frac{15}{4}\]

Уравнение \(h^2 = \frac{15}{4}\) может быть переписано в виде:

\[h = \sqrt{\frac{15}{4}}\]
\[h = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{4}}\]
\[h = \frac{\sqrt{15}}{2}\]

Итак, длина высоты равностороннего треугольника равна \(\frac{\sqrt{15}}{2}\).