1. Як знайти радіус основи циліндра, який описується навколо правильної трикутної призми з висотою n та бічною

Тимофей

34

1. Для того чтобы найти радиус основы цилиндра, описывающего правильную треугольную призму с высотой \(n\) и боковой поверхностью \(s\), можно воспользоваться следующей формулой:

\[r = \frac{s}{2\pi n}\]

Обоснование: Рассмотрим схему нашей треугольной призмы. Плоскостью, проходящей через острые углы основы призмы, проходит вписанный вокруг правильного треугольника радиусом \(r\). Таким образом, получаем, что длина окружности, описываемая вокруг основания цилиндра, равна периметру треугольника, который равен \(s\). Периметр треугольника равен \(2\pi r\) (уравнение окружности), откуда получаем формулу для нахождения радиуса \(r\).

2. Для нахождения площади поверхности сферы, описывающей правильную четырехугольную пирамиду с боковым ребром \(bi\), образующим угол \(v\) с высотой пирамиды, можно использовать следующую формулу:

\[S = 2\pi bi(bi \sin(v) + h)\]

Обоснование: Рассмотрим секущую плоскость, проходящую через основание пирамиды и центр сферы, описывающей эту пирамиду. Получается, что проекция линии основания на эту плоскость является окружностью радиусом \(bi\) (так как основание пирамиды - правильная четырехугольная). Площадь окружности равна \(2\pi b_i^2\). Также, в этой плоскости мы можем нарисовать прямую линию, проходящую через центр окружности и точку пересечения плоскости с гранью пирамиды. Эта прямая является высотой пирамиды и равна \(h\). Таким образом, площадь поверхности сферы можно разделить на две части: площадь той части, которая соответствует проекции основания пирамиды, и площадь той части, которая соответствует проекции боковой грани пирамиды.
Площадь проекции боковой грани пирамиды равна \(bi \sin(v)\), так как это прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна \(bi\), а угол между гипотенузой и основанием пирамиды равен \(v\). Следовательно, площадь этой части поверхности сферы равна \(2\pi bi(bi \sin(v) + h)\).

3. Чтобы найти длину линии, на которой поверхность кули касается боковой поверхности конуса, если радиус основы конуса \(r\) и образующая равна \(l\), можно воспользоваться следующей формулой:

\[L = \sqrt{(l + r)^2 - (l-r)^2}\]

Обоснование: Если мы представим куле и конусу на плоскости пересечение их контуров, получим правильный треугольник. Основание треугольника - это окружность с радиусом \(r\), а высота - образующая конуса \(l\). Поскольку поверхность кули касается боковой поверхности конуса, длина линии в точках касания является радиусом описанной окружности, поэтому равна \(r\). Таким образом, чтобы найти длину линии, мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника: \(L = \sqrt{(l + r)^2 - (l-r)^2}\).