1) Яка висота та площа осьового перерізу циліндра, якщо радіус його основи дорівнює 6 см, а діагональ осьового перерізу

Maksik

70

Давайте розглянемо почергово кожну задачу:

1) Яка висота та площа осьового перерізу циліндра, якщо радіус його основи дорівнює 6 см, а діагональ осьового перерізу утворює кут 60 градусів з площиною основи?

Для вирішення цієї задачі нам необхідно використати геометрію і трігонометрію.

Перш за все, зобразимо циліндр і його осьовий переріз згідно умови.

За формулою косинуса можемо визначити сторону квадрата \(a\) осьового перерізу циліндра:
\[a = 2 \cdot R \cdot \cos(60) = 2 \cdot 6 \cdot \cos(60) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6\]

Далі, використавши теорему Піфагора для трикутника, утвореного радіусом основи, стороною квадрата і його діагоналлю (висотою циліндра), можна знайти висоту \(h\):
\[h = \sqrt{R^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{6^2 - \left(\frac{6}{2}\right)^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\]

Таким чином, висота осьового перерізу циліндра дорівнює \(3\sqrt{3}\) см.

Для знаходження площі осьового перерізу циліндра, можна використати формулу площі круга:
\[S = \pi \cdot R^2 = \pi \cdot 6^2 = 36\pi\]

Отже, площа осьового перерізу циліндра дорівнює \(36\pi\) см².

2) Яка висота циліндра, якщо радіус його основи дорівнює 5 см, а кут між діагоналями осьового перерізу - 90 градусів?

Перетин діагоналей осьового перерізу утворює правильний чотирикутник. Для осьового перерізу циліндра рівносторонній чотирикутник, і тому його діагоналі є радіусами основи циліндра, тобто \(R = 5\) см.

Далі, застосуємо теорему Піфагора до трикутника, одне з вершин якого - центр основи, а решта - точки перетину діагоналей. Висота циліндра є гіпотенузою цього трикутника.

Отже, \(h = \sqrt{2 \cdot R^2} = \sqrt{2 \cdot 5^2} = \sqrt{2 \cdot 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\).

Таким чином, висота циліндра дорівнює \(5\sqrt{2}\) см.

3) Яка площа перерізу циліндра, якщо висота дорівнює 8 см, а радіус основи 5 см? Переріз проведено на відстані 4 см від осі циліндра, паралельно їй.

Для вирішення цієї задачі ми використовуємо геометрію.

За формулою площі трикутника можна обчислити площу \(S_1\) трикутника, утвореного перемичкою паралельно до осі циліндра, висотою циліндра і відрізком, який з"єднує ці дві лінії:
\[S_1 = \frac{1}{2} \cdot h \cdot p = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 = 16\]

Площа основи циліндра \(S_2\) є площею круга:
\[S_2 = \pi \cdot R^2 = \pi \cdot 5^2 = 25\pi\]

Отже, площа перерізу циліндра дорівнює сумі площі трикутника і площі основи:
\[S = S_1 + S_2 = 16 + 25\pi\]

4) Яка висота та площа осьового перерізу конуса, якщо радіус його основи дорівнює 5 см, а твірна