1. Які значення має знаменник геометричної прогресії 2;4;8;16? А) 4 Б) 2 В) 0,5 Г) -0,5 2. Яке значення має третій член

Izumrudnyy_Pegas

34

Давайте решим каждую задачу пошагово.

Для задачи 1, нам даны значения геометрической прогрессии: 2, 4, 8, 16. Чтобы вычислить знаменник геометрической прогрессии, мы можем взять любые два последовательных члена и разделить второй на первый. Давайте возьмем первое и второе значение:

\[
\frac{{4}}{{2}} = 2
\]

Значение знаменника геометрической прогрессии равно 2. Таким образом, ответ на задачу 1 равен Б) 2.

Перейдем к задаче 2. Мы знаем, что первый член геометрической прогрессии равен 8, а коэффициент прогрессии \(q = \frac{1}{2}\). Чтобы найти третий член геометрической прогрессии, мы можем использовать формулу:

\[
C_n = C_1 \cdot q^{n-1}
\]

где \(C_n\) - третий член геометрической прогрессии, \(C_1\) - первый член геометрической прогрессии, \(q\) - коэффициент прогрессии, \(n\) - номер члена прогрессии.

Применяя формулу, мы получаем:

\[
C_3 = 8 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{3-1} = 8 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 8 \cdot \frac{1}{4} = 2
\]

Значение третьего члена геометрической прогрессии равно 2. Таким образом, ответ на задачу 2 равен Г) 2.

Перейдем к задаче 3. Нам даны первый член геометрической прогрессии \(b_1 = 32\) и коэффициент прогрессии \(q = \frac{1}{2}\). Чтобы найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, мы можем использовать формулу суммы геометрической прогрессии:

\[
S_n = \frac{{b_1 \cdot (1 - q^n)}}{{1 - q}}
\]

где \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии, \(b_1\) - первый член геометрической прогрессии, \(q\) - коэффициент прогрессии, \(n\) - количество членов прогрессии.

Применяя формулу, мы получаем:

\[
S_5 = \frac{{32 \cdot (1 - \left(\frac{1}{2}\right)^5)}}{{1 - \frac{1}{2}}} = \frac{{32 \cdot (1 - \frac{1}{32})}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{{32 \cdot \frac{31}{32}}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{{992}}{{\frac{1}{2}}} = 992 \cdot 2 = 1984
\]

Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна 1984. Таким образом, ответ на задачу 3 равен А) 992.

Наконец, перейдем к задаче 4. Нам даны значения второго и четвертого членов геометрической прогрессии: \(b_2 = 15\) и \(b_4 = 3.75\). Чтобы найти первый член и знаменник геометрической прогрессии, мы можем использовать следующую систему уравнений:

\[
\begin{cases}
b_2 = b_1 \cdot q \\
b_4 = b_1 \cdot q^3
\end{cases}
\]

Решая эту систему уравнений, мы сначала найдем значение коэффициента прогрессии:

\[
q = \sqrt[3]{\frac{{b_4}}{{b_2}}} = \sqrt[3]{\frac{{3.75}}{{15}}} = \sqrt[3]{\frac{{1}}{{4}}} = \frac{{1}}{{2}}
\]

Теперь, подставляя значение \(q\) в первое уравнение системы, мы найдем значение первого члена геометрической прогрессии:

\[
b_2 = b_1 \cdot q \Rightarrow 15 = b_1 \cdot \frac{{1}}{{2}} \Rightarrow b_1 = 15 \cdot 2 = 30
\]

Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен 30, а знаменник равен \(q = \frac{{1}}{{2}}\). Ответ на задачу 4: первый член равен 30, а знаменник равен \(\frac{{1}}{{2}}\).