1. Яким є розрахункова довжина більшої похилої, якщо менша похила утворює кут 60° з площиною і має проекції довжиною

Yuzhanin_1650

58

Добро пожаловать, я с удовольствием помогу вам с решением этих задач. Давайте начнем с первой задачи.

Задача 1:
Мы знаем, что меншая похила образует угол 60° с плоскостью и имеет проекции длины 4√3 см и 9 см. Давайте обозначим рассматриваемые похилые через A и B, где B - более крутая похила, а A - менее крутая.

Пусть x - это искомая длина более крутой похилой (похилой B). Тогда, используя тригонометрические соотношения, мы можем записать следующие уравнения:

\(\frac{4\sqrt{3}}{x} = \tan(60°)\)

и

\(\frac{9}{x} = \sin(60°)\)

Теперь посмотрим на первое уравнение. У нас есть проекция длины 4√3 см, которая соответствует противолежащему катету в прямоугольном треугольнике, а вертикальная прямая (похила) - это гипотенуза. Так как мы знаем угол 60°, мы можем использовать тригонометрическую функцию тангенса. Аналогично для второго уравнения, где мы используем синус, так как у нас есть проекция длины 9 см, которая соответствует противолежащему катету, а горизонтальная прямая (похила) - это гипотенуза.

Используя значения тангенса и синуса 60° (\(\sqrt{3}\) и \(\frac{1}{2}\) соответственно), мы можем решить уравнения:

\(\frac{4\sqrt{3}}{x} = \sqrt{3}\)
\(\frac{9}{x} = \frac{1}{2}\)

Когда мы решаем эти уравнения, мы получаем:

\(x = 4\sqrt{3}\) см для первой похилой и \(x = 18\) см для второй более крутой похилой.

Таким образом, розрахункова довжина большей похилої равна 18 см.

Перейдем ко второй задаче.

Задача 2:
Нам нужно найти длину диагонали BD параллелограмма ABCD, знакомые нам вершины A(-1; -3; 0), B(-1; 1; 3) и C(3; 1; 4).

Для нахождения длины диагонали BD в параллелограмме, мы можем использовать формулу для расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

\(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\),

где (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) - координаты точек.

Применяя эту формулу к точкам B и D, нам нужно найти координаты точки D. Мы знаем, что BD параллельно AC, поэтому точка D имеет те же координаты, что и A, но смещена на вектор AC.

Вектор AC можно найти, вычтя координаты точки A из координат точки C:

AC = (3, 1, 4) - (-1, -3, 0) = (4, 4, 4).

Теперь добавим вектор AC к координатам точки B, чтобы получить координаты точки D:

D = B + AC = (-1, 1, 3) + (4, 4, 4) = (3, 5, 7).

Теперь мы можем вставить координаты точек B и D в формулу расстояния:

\(d = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (5 - 1)^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{16 + 16 + 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}\).

Итак, длина диагонали BD параллелограмма ABCD равна \(4\sqrt{3}\).

Перейдем к третьей задаче.

Задача 3:
Мы знаем, что точка М находится на одинаковом расстоянии от всех сторон прямоугольного треугольника и находится на расстоянии 4 см от его плоскости. Гипотенуза треугольника длиннее катетов на 3 см, а противоположная катету сторона длиннее на 6 см.

Пусть a,b,c - длины катетов прямоугольного треугольника, а d - расстояние от точки М до стороны треугольника.

Тогда, используя эти данные, мы можем записать систему уравнений:

\((a + 6)^2 + (b + 6)^2 = (c + 3)^2\),

\((d + 6)^2 + 16 = c^2\).

Первое уравнение получается из того факта, что сторона прямоугольного треугольника, противоположная катету, на 6 см длиннее катета. Второе уравнение получается из того факта, что точка М находится на расстоянии 4 см от плоскости треугольника, значит расстояние d от точки М до основания треугольника удовлетворяет уравнению \(d^2 + 16 = a^2\).

Далее, используя первое уравнение, раскроем скобки:

\(a^2 + 12a + 36 + b^2 + 12b + 36 = c^2 + 6c + 9\).

Также, второе уравнение можно записать в виде:

\(d^2 = c^2 - 16\).

Мы можем заменить \(c^2\) в выражении слева второго уравнения на \(a^2 + b^2\) из первого уравнения:

\(d^2 = a^2 + b^2 - 16\).

Теперь, используя полученные выражения, мы можем записать:

\(a^2 + 12a + 36 + b^2 + 12b + 36 = a^2 + b^2 + 6c +9\).

Cократим одинаковые члены слева и справа:

\(12a + 12b + 72 = 6c + 9\).

Далее, выразим c через a и b:

\(6c = 12a + 12b + 63\).

Исходя из условия задачи, гипотенуза треугольника длиннее катетов на 3 см:

\(c = a + 3\).

Подставим это в уравнение:

\(6(a + 3) = 12a + 12b + 63\).

Раскроем скобки:

\(6a + 18 = 12a + 12b + 63\).

Теперь сгруппируем переменные и константы:

\(12b = 6a + 45\).

Выразим b через a:

\(b = \frac{1}{2}a + \frac{15}{2}\).

Теперь, используя полученные выражения для a и b, мы можем записать уравнение для расстояния d:^

\(d^2 = a^2 + b^2 - 16 = a^2 + \left(\frac{1}{2}a + \frac{15}{2}\right)^2 - 16\).

Раскроем скобки:

\(d^2 = a^2 + \frac{1}{4}a^2 + \frac{15}{2}a + \frac{1}{4}\cdot15^2 - 16\).

Сократим:

\(d^2 = \frac{5}{4}a^2 + \frac{15}{2}a + \frac{225}{4} - 16\).

Приведем дробную часть и числовые значения:

\(d^2 = \frac{5}{4}a^2 + \frac{15}{2}a + \frac{125}{4}\).

Уравнение d^2 = С - это квадратное уравнение относительно a.

Мы можем найти значения a, решив это уравнение. Дискриминант D квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac.

Сравним коэффициенты перед a^2, a и свободным членом с соответствующими коэффициентами в нашем уравнении:

a = \(\frac{5}{4}\)
b = \(\frac{15}{2}\)
c = \(\frac{125}{4}\)

Теперь вычислим дискриминант D:

\(D = \left(\frac{15}{2}\right)^2 - 4\left(\frac{5}{4}\right)\left(\frac{125}{4}\right) = \frac{225}{4} - \frac{625}{4} = -\frac{400}{4} = -100\).

Дискриминант D равен -100. Так как D отрицателен, у нашего уравнения отсутствуют действительные корни.

Следовательно, нет решений для искомой задачи.

Пожалуйста, обратите внимание, что я предоставил максимально подробные объяснения и пошаговое решение для каждой задачи. Если у вас возникли другие вопросы, не стесняйтесь задавать их. Я всегда готов помочь!