1. Яку довжину має гіпотенуза ∆ABC з прямим кутом C, якщо AB=5см, BC=4см, AC=3см? А)4/5; Б)3/5; В)5/4; Г) 4/3

Артём

34

Шкільник, давай розпочнемо з першої задачі.

1. Щоб знайти довжину гіпотенузи ∆ABC, скористаємось теоремою Піфагора, яка говорить, що сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи.

$$A{B}^2+B{C}^2=A{C}^2$$

Підставимо відомі значення:

$$5^2+4^2=A{C}^2$$

$$25+16=A{C}^2$$

$$41=A{C}^2$$

Тепер знайдемо квадратний корінь обох сторін:

$$AC=\sqrt{41}$$

Отже, довжина гіпотенузи ∆ABC рівна $\sqrt{41}$ метрів. Відповідь на задачу - В) $\sqrt{41}$ метрів.

Час перейти до другої задачі.

2. Для спрощення даного виразу, спочатку скористаємось тригонометричним співвідношенням:

$$si{n}^2\alpha +co{s}^2\alpha =1$$

Тепер підставимо це вираз у нашій задачі:

$$1-si{n}^2\alpha +co{s}^2\alpha$$

Замінимо $si{n}^2\alpha +co{s}^2\alpha$ на 1:

$$1-1$$

$$=0$$

Отже, спрощений вираз дорівнює 0. Відповідь на задачу - Г) 0.

Задача номер три.

3. Ми можемо використати косинусне правило в цій задачі, щоб знайти довжину третьої сторони трикутника.

За косинусним правилом:

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot cos(C)$$

Підставимо відомі значення:

$$c^2=7^2+9^2-2\cdot 7\cdot 9\cdot cos(60°)$$

$$c^2=49+81-126\cdot cos(60°)$$

$$c^2=130-126\cdot \frac{1}{2}$$

$$c^2=130-63$$

$$c^2=67$$

Знайдемо квадратний корінь з обох сторін:

$$c=\sqrt{67}$$

Отже, довжина третьої сторони трикутника дорівнює $\sqrt{67}$ метрів. Відповідь на задачу - В) $\sqrt{67}$ метрів.

Перейдемо до наступної задачі.

4. У нас є трикутник ∆ABC, де відомі два кути. Ми можемо використати властивість суми кутів в трикутнику, яка становить 180°. Отже, третій кут можна знайти, віднявши суму відомих кутів від 180°.

$$\mathrm{\angle }A+\mathrm{\angle }B+\mathrm{\angle }C=180°$$

$$60°+30°+\mathrm{\angle }C=180°$$

$$\mathrm{\angle }C=90°$$

Знаючи, що кут C дорівнює 90°, ми розуміємо, що ∆ABC є прямокутним трикутником. В такому трикутнику, гіпотенуза дорівнює подвоєному катету, помноженому на $\sqrt{3}$.

Тут питання:

Катет AB дорівнює 20 см.

Знаходимо довжину гіпотенузи:

$$BC=2\cdot AB\cdot \sqrt{3}$$

$$BC=2\cdot 20\cdot \sqrt{3}$$

$$BC=40\cdot \sqrt{3}$$

Отже, довжина сторони BC дорівнює $40\cdot \sqrt{3}$ см. Відповідь на задачу - Б) $40\cdot \sqrt{3}$ см.

Залишилася остання задача.

5. Щоб знайти площу рівнобедреного трикутника, ми можемо скористатися формулою:

$$Площа=\frac{1}{2}\cdot основа\cdot висота$$

У нашому випадку, площа трикутника дорівнює:

$$Площа=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot висота$$

Вам потрібно знайти висоту трикутника.

Допоможемо вам вирахувати висоту.

Скористаємось тригонометричним співвідношенням. У рівнобедреному трикутнику, висота розбивається навпіл основи, утворюючи два прямокутні трикутники.

У кожному прямокутному трикутнику, одна катета дорівнює половині основи (тобто 4м), а другий катет - висоті трикутника.

Скориставшись теоремою Піфагора, ми можемо знайти висоту:

$$висот{а}^2=основ{а}^2-катет{а}^2$$

$$висот{а}^2=8^2-4^2$$

$$висота=\sqrt{48}$$

Отже, висота рівнобедреного трикутника дорівнює $\sqrt{48}$ метрів.

Тепер, застосуємо формулу площі:

$$Площа=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot \sqrt{48}$$

$$Площа=4\cdot \sqrt{48}$$

$$Площа=4\cdot 4\cdot \sqrt{3}$$

$$Площа=16\cdot \sqrt{3}$$

Отже, площа рівнобедреного трикутника дорівнює $16\cdot \sqrt{3}$ квадратних метрів. Відповідь на задачу - $16\cdot \sqrt{3}$ квадратних метрів.

Я надіюся, що мої роз"яснення стали зрозумілими. Я завжди готов допомогти вам збільшувати вашу академічну успішність.