Яким чином можна визначити об єм тіла, утвореного обертання рівнобедренного трикутника з основою а і кутом при основі

Maksim

45

Для определения объема тела, образованного вращением равнобедренного треугольника с основанием \(a\) вокруг оси, проходящей через основание, используется принцип метода цилиндра.

Если мы представим равнобедренный треугольник в виде двух прямоугольных треугольников, то можем заметить, что каждый из этих треугольников можно вращать вокруг высоты \(h\), которая является гипотенузой прямоугольного треугольника и длина которой будет равна половине основания \(a/2\).

Таким образом, каждый из этих треугольников будет образовывать полый цилиндр с высотой \(h\), описанный вокруг своего основания. Объем каждого такого цилиндра можно вычислить с помощью формулы:

\[
V = \pi \cdot r_{\text{осн}}^2 \cdot h,
\]

где \(r_{\text{осн}}\) - радиус основания цилиндра, который равен половине длины основания \(a/2\), а \(h\) - высота цилиндра.

Так как мы имеем два таких цилиндра, суммируем их объемы:

\[
V_{\text{итого}} = 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(\frac{a}{2}\right)^2 \cdot h\right) = \pi \cdot \frac{a^2 \cdot h}{2}.
\]

Таким образом, чтобы найти объем тела, образованного вращением равнобедренного треугольника с основанием \(a\) и углом при основании \(a\) вокруг оси, проходящей через основание, необходимо умножить площадь основания треугольника, которая равна \(a^2\), на высоту треугольника \(h\), и затем умножить результат на \( \pi / 2\):

\[
V_{\text{итого}} = \frac{\pi}{2} \cdot a^2 \cdot h.
\]

Помните, что эта формула справедлива только для случая, когда равнобедренный треугольник вращается вокруг оси, проходящей через его основание.