1. За допомогою малюнка, визначте координати вершини D прямокутника АВСD. А Б В Г A(6; 0), Б (4; 0), В (0; 6), Г

Ласточка

63

1. Для определения координат вершины D прямоугольника ABCD рассмотрим его малюнок:

           B (4;0)

            /\

           /  \

          /    \

         /      \

A(6;0) /________\ D(x;y)  

        |      |

        |      |

        |______|

       C (0;6)

Из условия задачи известны координаты точек A(6;0), B(4;0), C(0;6), Г(0;4).

Чтобы найти координаты вершины D, нужно учесть, что противоположные вершины прямоугольника равноудалены от центра прямоугольника. Центр прямоугольника можно найти, используя средние значения координат вершин.

Координаты центра прямоугольника:

\[x_{\text{центра}} = \frac{{x_a + x_c}}{2} = \frac{{6 + 0}}{2} = 3\]
\[y_{\text{центра}} = \frac{{y_b + y_d}}{2} = \frac{{0 + 4}}{2} = 2\]

Таким образом, центр прямоугольника имеет координаты (3,2).

Теперь мы знаем, что координаты вершины D равноудалены от центра (3,2) и вершины A(6;0). Используя это знание, мы можем найти координаты D.

\[x_d = 2 \cdot x_{\text{центра}} - x_a = 2 \cdot 3 - 6 = 0\]
\[y_d = 2 \cdot y_{\text{центра}} - y_a = 2 \cdot 2 - 0 = 4\]

Таким образом, координаты вершины D прямоугольника ABCD равны (0,4).

2. Для определения координат середины отрезка NK с точками N(-3;-2) и K(-1;0) воспользуемся формулами для нахождения средних значений координат:

\[x_{\text{середины}} = \frac{{x_n + x_k}}{2} = \frac{{-3 + (-1)}}{2} = -2\]
\[y_{\text{середины}} = \frac{{y_n + y_k}}{2} = \frac{{-2 + 0}}{2} = -1\]

Таким образом, координаты середины отрезка NK равны (-2, -1).

3. Чтобы найти координаты центра и радиуса окружности, заданной уравнением \((x - 3)^2 + y^2 = 2\), нужно привести уравнение окружности к стандартному виду \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \).

Раскроем квадрат:

\(x^2 - 6x + 9 + y^2 = 2\)

Приведем подобные слагаемые:

\(x^2 + y^2 - 6x + 9 = 2\)

Перенесем 2 на другую сторону:

\(x^2 + y^2 - 6x + 9 - 2 = 0\)

Упростим:

\(x^2 + y^2 - 6x + 7 = 0\)

Теперь сравним это уравнение с общим уравнением окружности \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \).

У нас получилось:

\((x - 3)^2 + y^2 = 2^2\)

Сравниваем:

\(h = 3\)
\(k = 0\)
\(r^2 = 2^2 = 4\)

Таким образом, центр окружности имеет координаты (3, 0), а радиус равен 2.

4. Чтобы найти точку, координаты которой удовлетворяют уравнению прямой \(3x - 2y + 6 = 0\), нужно подставить различные значения для x и найти соответствующие y.

Давайте найдем несколько точек, чтобы увидеть общую закономерность:

Пусть x = 0:
\[3 \cdot 0 - 2y + 6 = 0\]
\[-2y = -6\]
\[y = 3\]

Таким образом, первая точка (0, 3) удовлетворяет уравнению.

Пусть x = 2:
\[3 \cdot 2 - 2y + 6 = 0\]
\[6 - 2y + 6 = 0\]
\[-2y = -12\]
\[y = 6\]

Вторая точка (2, 6) также удовлетворяет уравнению.

Таким образом, мы видим, что любая точка с координатами (x, y), где \(y = -\frac{3}{2}x - 3\) удовлетворяет уравнению прямой.

5. Чтобы найти расстояние от точки К (-4;-3) до начала координат (0,0), мы можем использовать теорему Пифагора.

Расстояние между двумя точками (x₁, y₁) и (x₂, y₂) можно найти по формуле:

\[d = \sqrt{{(x₂-x₁)^2 + (y₂-y₁)^2}}\]

В нашем случае точка К (-4;-3) является \(x₁\) и \(y₁\), а начало координат (0,0) является \(x₂\) и \(y₂\).

Подставим значения:

\[d = \sqrt{{(0-(-4))^2 + (0-(-3))^2}}\]
\[d = \sqrt{{4^2 + 3^2}}\]
\[d = \sqrt{{16 + 9}}\]
\[d = \sqrt{{25}}\]
\[d = 5\]

Таким образом, расстояние от точки К (-4;-3) до начала координат (0,0) равно 5 единицам.