1. Завершите расчет с помощью указанных выше формул: сos1050 = cos(600 +450) = 2. 2. Проведите вычисления: sin

Magicheskiy_Kot_7118

47

Конечно! Давайте решим каждую задачу по порядку:

1. По формуле сложения для косинуса, \( \cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b \), получим:
\[ \cos(600 + 450) = \cos 600 \cos 450 - \sin 600 \sin 450 \]

Далее, нам понадобятся значения косинуса и синуса угла 600 и 450. Вычислим:

\[ \cos 600 = 0.5 \quad \text{и} \quad \sin 600 = -\frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \cos 450 = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{и} \quad \sin 450 = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Теперь, подставив значения в формулу, получим:
\[ \cos(600 + 450) = 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - (-\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \]
\[ \cos(600 + 450) = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} \]
\[ \cos(600 + 450) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \]

Ответ: \(\cos(600 + 450) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}\).

2. Расширим выражение для sin(a + b) по формуле сложения синуса:
\[ \sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b \]

Теперь, мы можем применить эту формулу к нашему заданию:

\[ \sin 20 \cos 40 + \cos 20 \sin 40 \]

Значения синуса и косинуса углов 20 и 40 равны:
\[ \sin 20 = \frac{1}{2} \quad \text{и} \quad \cos 40 = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \cos 20 = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{и} \quad \sin 40 = \frac{1}{2} \]

Подставим значения в выражение:
\[ \sin 20 \cos 40 + \cos 20 \sin 40 = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} \]
\[ \sin 20 \cos 40 + \cos 20 \sin 40 = \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} \]
\[ \sin 20 \cos 40 + \cos 20 \sin 40 = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Ответ: \(\sin 20 \cos 40 + \cos 20 \sin 40 = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

3. Теперь воспользуемся формулой сложения для косинуса:
\[ \cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b \]

Мы знаем, что \( a = 750 \) и \( b = 0 \), поэтому:
\[ \cos 750 = \cos(750 + 0) = \cos 750 \cos 0 - \sin 750 \sin 0 \]

Значения косинуса и синуса угла 750:
\[ \cos 750 = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{и} \quad \sin 750 = -\frac{1}{2} \]

Подставим значения в формулу:
\[ \cos(750 + 0) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 - (-\frac{1}{2}) \cdot 0 \]
\[ \cos(750 + 0) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Ответ: \(\cos 750 = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

4. Давайте упростим выражения:

а) \(2 \sin 15 \cos 15\).

Мы можем использовать формулу удвоения для синуса:
\[ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \]

Применим формулу к нашему выражению:
\[ 2 \sin 15 \cos 15 = \sin 30 \]

Значение синуса угла 30 равно \( \frac{1}{2} \), поэтому:
\[ 2 \sin 15 \cos 15 = \frac{1}{2} \]

Ответ: \( 2 \sin 15 \cos 15 = \frac{1}{2} \).

б) \((\sin \alpha - \cos \alpha)^2 + \sin^2 \alpha\).

Раскроем квадрат:
\[ (\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha \]

Добавим \(\sin^2 \alpha\):
\[ (\sin \alpha - \cos \alpha)^2 + \sin^2 \alpha = \sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha \]

Упростим:
\[ (\sin \alpha - \cos \alpha)^2 + \sin^2 \alpha = 2 \sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha \]

Заметим, что \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \):
\[ (\sin \alpha - \cos \alpha)^2 + \sin^2 \alpha = 2 \sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha + 1 \]

Ответ: \((\sin \alpha - \cos \alpha)^2 + \sin^2 \alpha = 2 \sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha + 1\).

Это были подробные и пошаговые решения к каждой задаче. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, задавайте!