10. Сколько возможных комбинаций можно получить из бригады 12 газосварщиков и 7 электросварщиков при выполнении

Krokodil_2577

12

Для решения этой задачи нам понадобится применить комбинаторику и принципы подсчета.

а. Для определения количества возможных комбинаций, в которых все газосварщики и электросварщики могут работать вместе, мы можем использовать формулу сочетаний с повторением, так как известно количество выбираемых объектов и количество возможных вариантов для каждого объекта.

Количество комбинаций газосварщиков, которые могут работать вместе, можно определить как сочетание \(C(12, 4)\), где 12 - общее количество газосварщиков, а 4 - количество газосварщиков, которые будут работать вместе. Это сочетание определяется следующей формулой:

\[C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\]

Применяя эту формулу, получаем:

\[C(12, 4) = \frac{{12!}}{{4! \cdot (12-4)!}} = \frac{{12!}}{{4! \cdot 8!}}\]

Аналогично вычисляем количество комбинаций электросварщиков, которые могут работать вместе: \(C(7, 3)\).

Теперь чтобы определить общее количество комбинаций, в которых все газосварщики и электросварщики могут работать вместе, мы применяем принцип умножения, так как в каждой комбинации газосварщики могут работать вместе с разными электросварщиками:

Общее количество комбинаций = Количество комбинаций газосварщиков × Количество комбинаций электросварщиков

б. Чтобы определить количество комбинаций, в которых Андрей и Миша не могут работать в одной команде, мы должны вычесть из общего количества комбинаций те, где Андрей и Миша находятся в одной команде.

Пусть \(C\_{AM}\) - количество таких комбинаций, в которых Андрей и Миша находятся в одной команде. Общее количество комбинаций без ограничений будет равно количеству комбинаций, в которых газосварщики и электросварщики могут работать вместе, как рассчитано в пункте а:

Общее количество комбинаций без ограничений = \(C(12, 4) \times C(7, 3)\)

Тогда количество комбинаций, в которых Андрей и Миша находятся в одной команде, можно рассчитать как количество комбинаций без ограничений минус комбинации, в которых газосварщиков шестеро:

\(C\_{AM} = C(10, 4) \times C(7, 3)\)

Искомое количество комбинаций будет равно общему количеству комбинаций без ограничений минус количество комбинаций, в которых Андрей и Миша находятся в одной команде:

Итого: Количество комбинаций без Андрея и Миши = Общее количество комбинаций без ограничений - Количество комбинаций с Андреем и Мишей

в. Для определения количества комбинаций, в которых Андрей может работать только если Виталий будет в команде, мы можем предположить, что Виталий уже включен в команду, а теперь должны выбрать остальных членов команды. Поэтому нам нужно выбрать \(4-1\) газосварщика из \(12-2\) (вычитаем Андрея и Виталия) и \(3\) электросварщика из \(7-1\) (вычитаем Виталия).

Тогда количество комбинаций будет равно \(C(10, 3) \times C(6, 3)\).

г. Здесь нам известно, что из-за гриппа 8 газосварщиков не могут работать, и одному из электросварщиков придется заменить газосварщика. Это означает, что один газосварщик должен быть заменен одним электросварщиком.

Для определения количества комбинаций мы имеем газосварщиков \(12-8 = 4\) и электросварщика \(7-1 = 6\), так как электросварщик не может заменить себя. Тогда количество комбинаций будет равно \(C(4, 1) \times C(6, 1)\).

Итак, в каждом пункте мы получили количество комбинаций, учитывая разные ограничения.