10. ( В ) У треугольника одна сторона равна 4, а отношение длин двух других сторон составляет 5 : 7. Докажите

Korova

16

Для доказательства того, что все стороны треугольника меньше 4, мы можем использовать неравенство треугольника.

Неравенство треугольника утверждает, что для любого треугольника с сторонами a, b и c, сумма двух сторон всегда больше третьей стороны. Формально, это записывается следующим образом:

a + b > c
b + c > a
a + c > b

Теперь, давайте применим это неравенство треугольника к нашей задаче.

Пусть сторона треугольника, равная 4, обозначена как a, а две другие стороны с отношением 5:7 обозначены как b и c.

Имеем: a = 4, b = 5x и c = 7x, где x - некоторое положительное число.

Теперь, подставим эти значения в неравенства треугольника:

4 + 5x > 7x
4 + 7x > 5x
5x + 7x > 4

Мы можем решить эти неравенства, чтобы найти значения x, при которых неравенства выполняются. Решим первое неравенство:

4 + 5x > 7x
4 > 2x
2 > x

Таким образом, мы получили, что x должно быть меньше 2, чтобы выполнялось первое неравенство.

Решим второе неравенство:

4 + 7x > 5x
4 + 2x > 0
2x > -4
x > -2

Таким образом, мы получили, что x должно быть больше -2.

Решим третье неравенство:

5x + 7x > 4
12x > 4
x > \(\frac{1}{3}\)

Таким образом, мы получили, что x должно быть больше \(\frac{1}{3}\).

Итак, мы получили следующие результаты:

x должно быть меньше 2,
x должно быть больше -2,
x должно быть больше \(\frac{1}{3}\).

Теперь мы можем взять наименьшее значение x, которое удовлетворяет всем трём неравенствам. Это значение будет x = \(\frac{1}{3}\).

Подставим это значение x в формулы для b и c:

b = 5x = 5 \(\times\) \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{5}{3}\)
c = 7x = 7 \(\times\) \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{7}{3}\)

Таким образом, мы получили, что две другие стороны треугольника равны \(\frac{5}{3}\) и \(\frac{7}{3}\), что меньше 4.

Итак, мы доказали, что все стороны треугольника меньше 4.