100 3. В данном кубе abcda1b1c1d1 с ребром 2. а) Необходимо доказать, что прямая, соединяющая точки a1 и c1, является

Yarost

31

а) Для начала докажем, что вектор \(\overrightarrow{a_1c_1}\) перпендикулярен вектору \(\overrightarrow{bd_1}\).

Заметим, что \(\overrightarrow{a_1c_1} = \overrightarrow{c_1} - \overrightarrow{a_1}\) и \(\overrightarrow{bd_1} = \overrightarrow{d_1} - \overrightarrow{b}\).

\(\overrightarrow{a_1c_1} = (a_1 - d_1)\overrightarrow{i} + (b - d_1)\overrightarrow{j} + (c_1 - b)\overrightarrow{k}\)

\(\overrightarrow{bd_1} = (a_1 - d_1)\overrightarrow{i} + (b - c_1)\overrightarrow{j} + (d_1 - b)\overrightarrow{k}\)

Теперь найдем их скалярное произведение:

\(\overrightarrow{a_1c_1} \cdot \overrightarrow{bd_1} = (a_1 - d_1)(a_1 - d_1) + (b - d_1)(b - c_1) + (c_1 - b)(d_1 - b)\)

\(\overrightarrow{a_1c_1} \cdot \overrightarrow{bd_1} = (a_1 - d_1)^2 + (b - d_1)(b - c_1) + (c_1 - b)(d_1 - b)\)

Так как оба куба имеют ребро 2, то \((a_1 - d_1)^2 + (b - d_1)(b - c_1) + (c_1 - b)(d_1 - b)\) равно \(2^2 + 0 + 0 = 4\), поскольку \(a_1 - d_1 = 2\), \(b - c_1 = 0\) и \(c_1 - b = 0\).

Таким образом, \(\overrightarrow{a_1c_1} \cdot \overrightarrow{bd_1} = 4\).

Также известно, что для двух векторов их скалярное произведение равно нулю, если и только если они являются перпендикулярными.

Поскольку \(\overrightarrow{a_1c_1} \cdot \overrightarrow{bd_1} = 4\) и \(\overrightarrow{a_1c_1} \cdot \overrightarrow{bd_1} \neq 0\), мы можем сделать вывод, что прямая, соединяющая точки \(a_1\) и \(c_1\), не является перпендикулярной плоскости \(bdd_1\).

б) Проверим, что плоскость \(a_1c_1d\) перпендикулярна прямой \(bd_1\).

Возьмем два вектора в плоскости \(a_1c_1d\), например, \(\overrightarrow{a_1c_1}\) и \(\overrightarrow{a_1d}\).

\(\overrightarrow{a_1c_1} = (a_1 - d_1)\overrightarrow{i} + (b - d_1)\overrightarrow{j} + (c_1 - b)\overrightarrow{k}\)

\(\overrightarrow{a_1d} = (a_1 - d_1)\overrightarrow{i} + (b - d_1)\overrightarrow{j} + (d_1 - c_1)\overrightarrow{k}\)

Теперь найдем их скалярное произведение:

\(\overrightarrow{a_1c_1} \cdot \overrightarrow{a_1d} = (a_1 - d_1)(a_1 - d_1) + (b - d_1)(b - d_1) + (c_1 - b)(d_1 - c_1)\)

\(\overrightarrow{a_1c_1} \cdot \overrightarrow{a_1d} = (a_1 - d_1)^2 + (b - d_1)^2 - (c_1 - b)(c_1 - d_1)\)

Так как оба куба имеют ребро 2, то \((a_1 - d_1)^2 + (b - d_1)^2 - (c_1 - b)(c_1 - d_1)\) равно \(2^2 + 2^2 - 0 = 8\), поскольку \((a_1 - d_1) = 2\), \((b - d_1) = 2\), \(c_1 - b = 0\) и \(c_1 - d_1 = 0\).

Таким образом, \(\overrightarrow{a_1c_1} \cdot \overrightarrow{a_1d} = 8\).

Также известно, что для двух векторов их скалярное произведение равно нулю, если и только если они являются перпендикулярными.

Поскольку \(\overrightarrow{a_1c_1} \cdot \overrightarrow{a_1d} = 8\) и \(\overrightarrow{a_1c_1} \cdot \overrightarrow{a_1d} \neq 0\), мы можем сделать вывод, что плоскость \(a_1c_1d\) не является перпендикулярной прямой \(bd_1\).

в) Чтобы провести прямую, проходящую через точку \(k\), которая является серединой отрезка \(c_1d_1\), и перпендикулярна плоскости \(a_1c_1d\), нужно воспользоваться следующими свойствами.

1. Прямая, проходящая через середину отрезка, перпендикулярна этому отрезку.
2. Две перпендикулярные прямые в плоскости пересекаются.

Так как \(k\) является серединой отрезка \(c_1d_1\), проведем прямую, проходящую через \(k\) и перпендикулярную \(c_1d_1\). На этой прямой будут лежать точки \(k\), \(c_1\) и \(d_1\).

г) Чтобы найти длину части этой прямой, находящейся внутри куба, нужно знать расстояние между точками \(k\), \(c_1\) и \(d_1\).

Расстояние между двумя точками в трехмерном пространстве можно найти с помощью формулы расстояния между двумя точками:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\]

В данном случае \(k\) имеет координаты \((c_1, d_1, c_1)\), \(c_1\) имеет координаты \((c_1, 2, 2)\), а \(d_1\) имеет координаты \((d_1, 2, 2)\).

Теперь можем найти длину части прямой \(kd_1\), находящейся внутри куба, используя формулу расстояния:

\[d = \sqrt{(c_1 - d_1)^2 + (2 - 2)^2 + (2 - 2)^2}\]

д) Чтобы найти отношение, в котором плоскость \(a_1c_1d\) делит эту часть прямой, нужно разделить расстояние между \(k\) и точкой пересечения прямой с плоскостью \(a_1c_1d\) на расстояние между точкой пересечения и \(d_1\).

Обозначим точку пересечения прямой с плоскостью \(a_1c_1d\) как \(p\).

Тогда отношение можно выразить следующей формулой:

\[\frac{{\overline{kp}}}{{\overline{pd_1}}}\]

, где \(\overline{kp}\) - расстояние между \(k\) и \(p\), а \(\overline{pd_1}\) - расстояние между \(p\) и \(d_1\).

Теперь можно найти искомое отношение, подставив значения расстояний в формулу и вычислив его.