14.12. How can you graph the function f(x) = -2x^2 - x + 7 and, by using the graph, determine: 1) the vertex

Sofya

26

Хорошо, для начала нам нужно построить график функции \(f(x) = -2x^2 - x + 7\). Мы можем использовать несколько шагов для выполнения этой задачи. Давайте начнем:

Шаг 1: Найдем вершину параболы и ось симметрии.

Форма нашей функции является квадратичной параболой, представляющей уравнение \(y = ax^2 + bx + c\), где \(a = -2\), \(b = -1\) и \(c = 7\).

Координаты вершины параболы могут быть найдены с использованием формулы \(x = -\frac{b}{2a}\) и \(y = f(x)\).

Подставим значения \(a\), \(b\) и \(c\) в эти формулы:
\[x = -\frac{-1}{2(-2)} = -\frac{1}{4}\]
\[y = -2\left(-\frac{1}{4}\right)^2 - \frac{1}{4} + 7 = -\frac{57}{8}\]

Итак, координаты вершины параболы равны \(\left(-\frac{1}{4}, -\frac{57}{8}\right)\).

Ось симметрии параболы проходит через вершину и параллельна оси y. В нашем случае, ось симметрии будет линией \(x = -\frac{1}{4}\).

Шаг 2: Определим максимальное значение и область значений функции.

Так как \(a = -2 < 0\), парабола будет направлена вниз, что означает, что максимальное значение функции будет находиться в вершине параболы. Выше мы уже нашли, что координаты вершины равны \(\left(-\frac{1}{4}, -\frac{57}{8}\right)\). Следовательно, максимальное значение функции равно \(-\frac{57}{8}\).

Область значений функции это множество всех возможных значений y при заданных значениях x. В нашем случае, парабола направлена вниз, поэтому область значений будет от \(-\infty\) до максимального значения функции.

Шаг 3: Определим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Чтобы определить, когда функция возрастает или убывает, нам нужно рассмотреть знак коэффициента \(a\). В нашем случае \(a = -2\) отрицательный.

Вариант 1: \(a < 0\)
Если \(a < 0\), то парабола будет направлена вниз и функция будет убывать на всей области определения. В нашем случае, функция \(f(x) = -2x^2 - x + 7\) будет убывать на всем интервале \(-\infty < x < \infty\).

Итак, наше решение выглядит так:

1) Вершина параболы находится в точке \(\left(-\frac{1}{4}, -\frac{57}{8}\right)\), а ось симметрии имеет уравнение \(x = -\frac{1}{4}\).

2) Максимальное значение функции равно \(-\frac{57}{8}\), а область значений функции - это все отрицательные значения y, начиная с \(-\frac{57}{8}\) и продолжая до \(-\infty\).

3) Функция \(f(x) = -2x^2 - x + 7\) убывает на всем интервале \(-\infty < x < \infty\).

Надеюсь, что объяснение было полезным и понятным!