Какова сумма геометрической прогрессии (bn), где bn = 4*(2/5)^(n-2)?

Nikolaevich

2

Для решения данной задачи, нам нужно найти сумму геометрической прогрессии. Сначала мы выведем формулу для суммы такой прогрессии, а затем применим её к данному случаю.

Формула для суммы геометрической прогрессии имеет вид:
\[S = \frac{{b_1 \cdot (1 - q^n)}}{{1 - q}}\]

Где:
- \(S\) - сумма прогрессии;
- \(b_1\) - первый член прогрессии;
- \(q\) - знаменатель прогрессии (отношение между соседними членами);
- \(n\) - количество членов прогрессии.

Чтобы применить эту формулу к нашей задаче, необходимо определить значения \(b_1\), \(q\) и \(n\).

Исходя из формулы \(b_n = 4 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{n-2}\), мы видим, что первый член прогрессии (\(b_1\)) соответствует случаю, когда \(n = 2\).

Вычислим первый член прогрессии:
\[b_1 = 4 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{2-2} = 4 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^0 = 4 \cdot 1 = 4\]

Теперь мы можем определить знаменатель прогрессии (\(q\)). Заметим, что знаменатель можно найти, рассчитывая отношение двух последовательных членов:
\[q = \frac{b_2}{b_1}\]

Поскольку \(b_2\) соответствует случаю, когда \(n = 3\), мы можем вычислить его:
\[b_2 = 4 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{3-2} = 4 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^1 = 4 \cdot \frac{2}{5} = \frac{8}{5}\]

Теперь можем найти знаменатель:
\[q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\frac{8}{5}}{4} = \frac{8}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{5}\]

Осталось найти количество членов прогрессии (\(n\)). Обратите внимание, что в задаче не указано, сколько членов прогрессии имеется, поэтому мы можем предположить, что нужно найти сумму для всех \(n \geq 2\).

Теперь мы можем рассчитать сумму геометрической прогрессии, используя полученные значения \(b_1\), \(q\) и условие \(n \geq 2\):
\[S = \frac{{b_1 \cdot (1 - q^n)}}{{1 - q}} = \frac{{4 \cdot (1 - \left(\frac{2}{5}\right)^n)}}{{1 - \frac{2}{5}}}\]

Точного числового значения суммы мы не можем получить, так как нам неизвестно конкретное значение \(n\). Однако, используя данную формулу, вы сможете вычислить сумму для любого заданного \(n\).

Надеюсь, этот подробный ответ помог вам осознать процесс поиска суммы геометрической прогрессии и применение соответствующей формулы. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!