14-й вопрос. Найти неизвестные элементы треугольника по следующим данным: А) a=13, α=70°, β=35°. Б) a=22, b=17, γ=45°

Anna

58

Задача 14:

А)
Дано: \(a = 13\), \(\alpha = 70^\circ\), \(\beta = 35^\circ\).
Чтобы найти неизвестные элементы треугольника, используем тригонометрические функции.

1. Найдем третий угол треугольника:
\(\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta = 180^\circ - 70^\circ - 35^\circ = 75^\circ\).

2. Поскольку нам даны два угла и одна сторона, мы можем применить закон синусов.
\(\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}\)

\(c = \frac{a \cdot \sin\gamma}{\sin\alpha} = \frac{13 \cdot \sin 75^\circ}{\sin 70^\circ} ≈ 13.73\).

Б)
Дано: \(a = 22\), \(b = 17\), \(\gamma = 45^\circ\).
Аналогично, найдем третий угол треугольника:
\(\alpha = \frac{b \cdot \sin\gamma}{a} = \frac{17 \cdot \sin 45^\circ}{22} ≈ 0.688\).

3. Теперь найдем третий угол:
\(\beta = 180^\circ - \alpha - \gamma = 180^\circ - 0.688 - 45^\circ ≈ 134.312^\circ\).

В)
Дано: \(a = 17\), \(b = 15\).
Найдем угол между этими сторонами:
\(\gamma = \cos^{-1}\left(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\right)\).
\(\gamma = \cos^{-1}\left(\frac{17^2 + 15^2 - 22^2}{2 \times 17 \times 15}\)
\(\gamma ≈ 73.74^\circ\).

Это все шаги по решению задачи №14.