1в базисе векторов p ⃗ и q ⃗, которые имеют длины |p ⃗| = 2 и |q ⃗| = 3, а также образуют угол ∠p ⃗q ⃗ = π/3, заданы
1в базисе векторов p ⃗ и q ⃗, которые имеют длины |p ⃗| = 2 и |q ⃗| = 3, а также образуют угол ∠p ⃗q ⃗ = π/3, заданы векторы a ⃗ и b ⃗:
a ⃗ = (m+1) p ⃗ + n q ⃗
b ⃗ = n p ⃗ – (m + 1) q ⃗
Требуется найти:
а) Какой косинус между векторами a ⃗ и b ⃗?
б) Что представляет собой площадь параллелограмма, построенного на векторах a ⃗ и b ⃗?
a ⃗ = (m+1) p ⃗ + n q ⃗
b ⃗ = n p ⃗ – (m + 1) q ⃗
Требуется найти:
а) Какой косинус между векторами a ⃗ и b ⃗?
б) Что представляет собой площадь параллелограмма, построенного на векторах a ⃗ и b ⃗?
Золотой_Медведь 6
Для решения данной задачи, нам необходимо выполнить следующие шаги:а) Найдем векторы a ⃗ и b ⃗ с помощью заданных формул:
\[a ⃗ = (m+1) p ⃗ + n q ⃗\]
\[b ⃗ = n p ⃗ - (m + 1) q ⃗\]
где m и n - произвольные числа.
Раскроем скобки и получим:
\[a ⃗ = (m+1) p ⃗ + n q ⃗ = mp ⃗ + p ⃗ + n q ⃗\]
\[b ⃗ = n p ⃗ - (m + 1) q ⃗ = n p ⃗ - m q ⃗ - q ⃗\]
б) Теперь рассчитаем косинус угла между векторами a ⃗ и b ⃗. Для этого воспользуемся формулой:
\[\cos \theta = \frac{a ⃗ \cdot b ⃗}{|a ⃗| \cdot |b ⃗|}\]
где \(\theta\) - угол между векторами, \(a ⃗ \cdot b ⃗\) - скалярное произведение векторов, \(|a ⃗|\) и \(|b ⃗|\) - длины векторов.
с) Осталось найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a ⃗ и b ⃗. Площадь параллелограмма можно найти по формуле:
\[S = |a ⃗ \times b ⃗|\]
где \(a ⃗ \times b ⃗\) - векторное произведение векторов.
Теперь перейдем к пошаговому решению задачи.
1. Найдем векторы a ⃗ и b ⃗:
\[a ⃗ = (m+1) p ⃗ + n q ⃗ = mp ⃗ + p ⃗ + n q ⃗\]
\[a ⃗ = (m+1) p ⃗ + n q ⃗\]
\[b ⃗ = n p ⃗ - (m + 1) q ⃗ = n p ⃗ - m q ⃗ - q ⃗\]
\[b ⃗ = n p ⃗ - (m + 1) q ⃗\]
2. Рассчитаем косинус угла между a ⃗ и b ⃗:
\[\cos \theta = \frac{a ⃗ \cdot b ⃗}{|a ⃗| \cdot |b ⃗|}\]
Вычислим скалярное произведение векторов:
\[a ⃗ \cdot b ⃗ = (mp ⃗ + p ⃗ + n q ⃗) \cdot (n p ⃗ - (m + 1) q ⃗)\]
Раскроем скобки и упростим выражение:
\[a ⃗ \cdot b ⃗ = m (p ⃗ \cdot n p ⃗) - (m + 1)(p ⃗ \cdot q ⃗) + n (q ⃗ \cdot n p ⃗) - n (q ⃗ \cdot (m + 1) q ⃗)\]
3. Вычислим длины векторов:
\[|a ⃗| = \sqrt{a ⃗ \cdot a ⃗} = \sqrt{(mp ⃗ + p ⃗ + n q ⃗) \cdot (mp ⃗ + p ⃗ + n q ⃗)}\]
\[|b ⃗| = \sqrt{b ⃗ \cdot b ⃗} = \sqrt{(n p ⃗ - (m + 1) q ⃗) \cdot (n p ⃗ - (m + 1) q ⃗)}\]
4. Рассчитаем площадь параллелограмма:
\[S = |a ⃗ \times b ⃗|\]
Вычислим векторное произведение векторов:
\[a ⃗ \times b ⃗ = (mp ⃗ + p ⃗ + n q ⃗) \times (n p ⃗ - (m + 1) q ⃗)\]
Раскроем скобки и упростим выражение:
\[a ⃗ \times b ⃗ = m(p ⃗ \times n p ⃗) + (p ⃗ \times n q ⃗) + n(q ⃗ \times n p ⃗) - (q ⃗ \times (m + 1) q ⃗)\]
Найдя значения выражений по шагам, мы сможем получить полные ответы на заданные вопросы. Важно отметить, что решение опирается на исходные данные задачи, поэтому оно будет корректным при любых значениях m и n, удовлетворяющих условию задачи.