2. а(1; 5; -2), b(-5; 4; -5), c(1; -4; 1). a) Определите координаты точки d, которая является вершиной параллелограмма

Светлячок_В_Траве

56

a и c.

Для решения данной задачи, определим сначала векторы AB и AC, где A и B - это координаты точек A и B, аналогично для вектора AC.

\[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = (-5 - 1; 4 - 5; -5 - (-2)) = (-6; -1; -3) \]

\[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} = (1 - 1; -4 - 5; 1 - (-2)) = (0; -9; 3) \]

Теперь найдем векторное произведение векторов AB и AC, чтобы найти вектор, перпендикулярный плоскости ABCD.

\[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -6 & -1 & -3 \\ 0 & -9 & 3 \end{vmatrix} \]

\[ \overrightarrow{n} = (3, 18, 54) \]

Так как параллелограмм ABCD имеет две пары параллельных сторон, то вектор, направленный от точки B, должен быть обратным вектору, направленному от точки A.

\[ \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AB} = (-6, -1, -3) \]

\[ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = (0, -9, 3) + (-6, -1, -3) = (-6, -10, 0) \]

Найденный вектор AD является вектором, исходящим из точки A и направленным в точку D, поэтому можно получить координаты точки D, сложив координаты точки A и найденного вектора:

\[ D (x_d, y_d, z_d) = A (x_a, y_a, z_a) + \overrightarrow{AD} \]

\[ D (x_d, y_d, z_d) = (1, 5, -2) + (-6, -10, 0) = (-5, -5, -2) \]

Таким образом, координаты точки D равны (-5, -5, -2).

Теперь перейдем к решению второй части задачи.

Для начала найдем точку E, которая находится на равном расстоянии от точек A и C.

\[ E (x_e, y_e, z_e) = \frac{1}{2} \left( A (x_a, y_a, z_a) + C (x_c, y_c, z_c) \right) \]

\[ E (x_e, y_e, z_e) = \frac{1}{2} \left( (1, 5, -2) + (1, -4, 1) \right) = \left( \frac{1+1}{2}, \frac{5-4}{2}, \frac{-2+1}{2} \right) = (1, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}) \]

Таким образом, точка E находится на оси x и имеет координаты (1, 1/2, -1/2).