2. ABCDA1B1C1D1 is a rectangular parallelepiped. a) Find the length of the broken line DCC1B1A1, if AB = 4 cm

Kartofelnyy_Volk

66

a) Давайте начнем с определения длины сломанной линии DCC1B1A1. Обратите внимание, что AB = 4 см, AD = 2-AB и A1A = 5 см.

Поскольку ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, мы можем использовать его геометрические свойства, чтобы найти данную длину.

Построим параллелограмм DCC1B1A1:

\[
\begin{align*}
&B1-------------------------C1 \\
|& | \\
|& | \\
|& | \\
D&------------------------------A \\
|& | \\
|& | \\
|& | \\
A1&--------------------------------C \\
\end{align*}
\]

Давайте найдем отдельно длины отрезков DCC1, C1B1 и B1A1:

Для отрезка DCC1: Мы можем воспользоваться теоремой Пифагора в треугольнике ADC1:

\[
DC^2 = AD^2 + AC1^2
\]

Так как AD = 2-AB и AB = 4, мы можем подставить значения и решить уравнение:

\[
DC^2 = (2-4)^2 + AC1^2
\]

\[
DC^2 = 4 + AC1^2
\]

С помощью теоремы Пифагора в треугольнике ACC1, мы можем найти AC1:

\[
AC1^2 = AC^2 + CC1^2
\]

Так как AC = A1A = 5 и CC1 = AB = 4, мы можем подстановить значения и решить уравнение:

\[
AC1^2 = 5^2 + 4^2
\]

\[
AC1^2 = 25 + 16
\]

\[
AC1^2 = 41
\]

Теперь мы можем заменить значение AC1 в уравнении для DC^2:

\[
DC^2 = 4 + 41
\]

\[
DC^2 = 45
\]

\[
DC = \sqrt{45}
\]

\[
DC \approx 6.708\text{ см}
\]

Таким образом, длина сломанной линии DCC1B1A1 составляет около 6.708 см.

b) Чтобы найти площадь грани AADID, нам нужно знать ее размеры. Обратите внимание, что грань AADID - это прямоугольник, которому соответствуют две стороны прямоугольного параллелепипеда.

Давайте найдем отдельно длины сторон прямоугольника AADID:

Для стороны AD: Мы знаем, что AD = 2-AB, а AB = 4.

\[
AD = 2 - 4
\]

\[
AD = -2
\]

Для стороны AI: Мы знаем, что AI = AB = 4.

Для стороны DD1: Мы знаем, что DD1 = AC1, а мы уже ранее нашли значение AC1 равным \(\sqrt{41}\).

Теперь мы можем найти площадь грани AADID, умножив значение AD на AI:

\[
S_{AADID} = AD \times AI
\]

\[
S_{AADID} = -2 \times 4
\]

\[
S_{AADID} = -8
\]

Таким образом, площадь грани AADID равна -8.

Теперь нам нужно определить грань параллелепипеда, у которого такая же площадь. Для этого рассмотрим другие грани параллелепипеда:

- Грань ABCD: Ее площадь равна AB \times AD, то есть 4 \times (-2) = -8. Таким образом, грань ABCD также имеет площадь -8, что означает, что она имеет такую же площадь, как грань AADID.

c) Чтобы найти полную площадь поверхности данного параллелепипеда, нам нужно найти площади всех его граней и сложить их.

Площадь одной грани AADID мы уже нашли ранее и она составляет -8.

Остальные грани параллелепипеда имеют такую же площадь, как грань AADID, то есть -8. Таких граней будет 4.

Таким образом, общая площадь поверхности параллелепипеда будет:

\[
S_{\text{пов}} = (-8) + (-8) + (-8) + (-8) + (-8) + (-8)
\]

\[
S_{\text{пов}} = -48
\]

Таким образом, общая площадь поверхности параллелепипеда составляет -48.

d) Чтобы найти длину проволоки, необходимую для создания модели такого параллелепипеда, нам нужно найти периметр каждого из трех прямоугольников. Поскольку четыре прямоугольника одинаковы, мы можем найти периметр одного из них и умножить его на 4.

Построим прямоугольник AADD1:

\[
\begin{align*}
&D-------------D1 \\
|& | \\
|& | \\
A&---------------A1 \\
\end{align*}
\]

Длина стороны AD равна 2-AB, а AB = 4. Таким образом, длина AD = 2-4 = -2.

Длина стороны DD1 равна AC1, а мы уже ранее нашли значение AC1 равным \(\sqrt{41}\).

Теперь мы можем найти периметр прямоугольника AADD1, складывая длины его сторон:

\[
P_{AADD1} = AD + DD1 + AD + DD1
\]

\[
P_{AADD1} = (-2) + \sqrt{41} + (-2) + \sqrt{41}
\]

\[
P_{AADD1} = -4 + 2\sqrt{41}
\]

Теперь мы можем найти периметр одного прямоугольника, умножив периметр AADD1 на 4:

\[
P_{\text{проволоки}} = 4 \times ( -4 + 2\sqrt{41})
\]

\[
P_{\text{проволоки}} = -16 + 8\sqrt{41}
\]

Таким образом, длина проволоки, необходимой для создания модели параллелепипеда, составляет -16 + 8\sqrt{41}.

e) Чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, мы умножим длину, ширину и высоту параллелепипеда.

Длина параллелепипеда равна AB = 4 см.

Ширина параллелепипеда равна AC = A1D1 = 5 см.

Высота параллелепипеда равна AD = 2-AB = 2-4 = -2 см.

Теперь мы можем найти объем, умножив длину, ширину и высоту:

\[
V = AB \times AC \times AD
\]

\[
V = 4 \times 5 \times (-2)
\]

\[
V = -40
\]

Таким образом, объем прямоугольного параллелепипеда составляет -40 кубических сантиметров.

f) Чтобы определить, сколько краски было использовано для окрашивания параллелепипеда, нам нужно найти площадь его поверхности и умножить ее на количество краски, требуемое для 1 квадратного дециметра.

Мы уже ранее нашли общую площадь поверхности параллелепипеда, которая равна -48 квадратных сантиметров.

Чтобы перевести -48 квадратных сантиметров в квадратные дециметры, мы делим это значение на 100:

\[
S_{\text{пов в дм}^2} = \frac{{-48}}{{100}}
\]

\[
S_{\text{пов в дм}^2} = -\frac{{48}}{{100}}
\]

Мы знаем, что 3 грамма краски необходимо для покраски 1 квадратного дециметра. Теперь мы можем вычислить общее количество краски, используемое для окрашивания поверхности параллелепипеда, умножив площадь поверхности на количество краски, требуемое для 1 квадратного дециметра:

\[
\text{Количество краски} = S_{\text{пов в дм}^2} \times \text{Количество краски для 1 дм}^2
\]

\[
\text{Количество краски} = -\frac{{48}}{{100}} \times 3
\]

\[
\text{Количество краски} = -\frac{{144}}{{100}}
\]

Таким образом, для окрашивания параллелепипеда было использовано примерно -1.44 грамма краски.

Надеюсь, это детальное объяснение помогло вам понять решение данной задачи! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их. Я всегда готов помочь!