2. Докажите, что точки М, Q и N выровнены на прямой

Васька

58

Чтобы доказать, что точки М, Q и N выровнены на прямой, мы можем воспользоваться определением выравнивания точек на прямой. Если точки лежат на одной прямой, то можно провести прямую, проходящую через любые две из этих точек, и она будет проходить и через третью точку.

Давайте взглянем на изображение с задачей:

$$\begin{array}{ccccccccccccccccccc}& & & M& & & & N& & & & & & & & Q& & & \end{array}$$

У нас есть три точки: М, Q и N. Чтобы доказать, что они выровнены на прямой, мы можем провести линии от M до Q и от Q до N. Если эти две линии проходят через одну и ту же точку, это будет означать, что точки выровнены на прямой.

Для простоты докажем, что прямые MQ и QN пересекаются в одной точке P:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & M& & & & & & & & & & \\ & & & & \downarrow & & & & & \uparrow & & & & \\ & & & Q& & & & & & & N& & \end{array}$$

Рассмотрим треугольник MQN. У него две внутренние стороны: MQ и QN. Если мы докажем, что все его углы равны 180 градусам, то это будет означать, что точки выровнаны на прямой.

Рассмотрим углы треугольника MQN:

Угол MQN (угол посередине):

$$\mathrm{\angle }MQN$$

Угол MNQ:

$$\mathrm{\angle }MNQ$$

Угол QNM:

$$\mathrm{\angle }QNM$$

Если мы докажем, что сумма углов MQN, MNQ и QNM равна 180 градусам, то это будет означать, что точки выровнаны на прямой.

Рассмотрим углы поочередно:

Угол MQN:

$$\mathrm{\angle }MQN=\mathrm{\angle }MQP+\mathrm{\angle }PQN\text{(по Теореме об угле в центре)}$$

Угол MNQ:

$$\mathrm{\angle }MNQ=\mathrm{\angle }MPQ+\mathrm{\angle }QNP\text{(по Теореме об угле в центре)}$$

Угол QNM:

$$\mathrm{\angle }QNM=\mathrm{\angle }NQP+\mathrm{\angle }PQM\text{(по Теореме об угле в центре)}$$

Суммируя все углы, получаем:

$$\mathrm{\angle }MQN+\mathrm{\angle }MNQ+\mathrm{\angle }QNM=(\mathrm{\angle }MQP+\mathrm{\angle }PQN)+(\mathrm{\angle }MPQ+\mathrm{\angle }QNP)+(\mathrm{\angle }NQP+\mathrm{\angle }PQM)$$

$$=\mathrm{\angle }MQP+\mathrm{\angle }MPQ+\mathrm{\angle }NQP+\mathrm{\angle }PQN+\mathrm{\angle }QNP+\mathrm{\angle }PQM$$

Теперь вспомним, что сумма углов треугольника всегда равна 180 градусам:

$$={180}^{\circ }$$

Таким образом, мы доказали, что сумма углов MQN, MNQ и QNM равна 180 градусам, а это значит, что точки М, Q и N выровнаны на прямой.

Таким образом, точки М, Q и N выровнаны на прямой, и мы успешно доказали данное утверждение.