2. Докажите, что точки М, Q и N выровнены на прямой

Васька

58

Чтобы доказать, что точки М, Q и N выровнены на прямой, мы можем воспользоваться определением выравнивания точек на прямой. Если точки лежат на одной прямой, то можно провести прямую, проходящую через любые две из этих точек, и она будет проходить и через третью точку.

Давайте взглянем на изображение с задачей:

\[
\begin{array}{ccccccccccccccccccc}
& & & M & & & & N & & & & & & & & Q & & & \\
\end{array}
\]

У нас есть три точки: М, Q и N. Чтобы доказать, что они выровнены на прямой, мы можем провести линии от M до Q и от Q до N. Если эти две линии проходят через одну и ту же точку, это будет означать, что точки выровнены на прямой.

Для простоты докажем, что прямые MQ и QN пересекаются в одной точке P:

\[
\begin{array}{ccccccccccccccc}
& & & M & & & & & & & & & & \\
& & & & \downarrow & & & & & \uparrow & & & & \\
& & & Q & & & & & & & N & & \\
\end{array}
\]

Рассмотрим треугольник MQN. У него две внутренние стороны: MQ и QN. Если мы докажем, что все его углы равны 180 градусам, то это будет означать, что точки выровнаны на прямой.

Рассмотрим углы треугольника MQN:

Угол MQN (угол посередине):

\[
\angle MQN
\]

Угол MNQ:

\[
\angle MNQ
\]

Угол QNM:

\[
\angle QNM
\]

Если мы докажем, что сумма углов MQN, MNQ и QNM равна 180 градусам, то это будет означать, что точки выровнаны на прямой.

Рассмотрим углы поочередно:

Угол MQN:

\[
\angle MQN = \angle MQP + \angle PQN \quad \text{(по Теореме об угле в центре)}
\]

Угол MNQ:

\[
\angle MNQ = \angle MPQ + \angle QNP \quad \text{(по Теореме об угле в центре)}
\]

Угол QNM:

\[
\angle QNM = \angle NQP + \angle PQM \quad \text{(по Теореме об угле в центре)}
\]

Суммируя все углы, получаем:

\[
\angle MQN + \angle MNQ + \angle QNM = (\angle MQP + \angle PQN) + (\angle MPQ + \angle QNP) + (\angle NQP + \angle PQM)
\]

\[
= \angle MQP + \angle MPQ + \angle NQP + \angle PQN + \angle QNP + \angle PQM
\]

Теперь вспомним, что сумма углов треугольника всегда равна 180 градусам:

\[
= 180^\circ
\]

Таким образом, мы доказали, что сумма углов MQN, MNQ и QNM равна 180 градусам, а это значит, что точки М, Q и N выровнаны на прямой.

Таким образом, точки М, Q и N выровнаны на прямой, и мы успешно доказали данное утверждение.