2) Формулируйте все утверждения, которые гарантированно верны относительно окружности ω, которая касается внутренним

Vechernyaya_Zvezda

14

Окружность ω касается внутренним образом окружности ω в точке c и хорды ab в точке d. Прямая cd пересекает окружность ω второй раз в точке m.

1) ∠abm=∠bcm:
Докажем это утверждение. Обратим внимание на то, что ∠abm и ∠bcm являются углами, опирающимися на одну и ту же дугу ab окружности ω. Так как углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то ∠abm=∠bcm.

2) Окружность, описанная вокруг треугольника acd, касается прямой am:
Докажем это утверждение. Поскольку точка m является точкой пересечения прямой cd и окружности ω, то она лежит на окружности ω и, следовательно, находится на одинаковом расстоянии от точек a и c. Поэтому, окружность, описанная вокруг треугольника acd, будет касаться прямой am.

3) Окружность, описанная вокруг треугольника adm, касается прямой ac:
Докажем это утверждение. Рассмотрим точку касания окружности, описанной вокруг треугольника adm, с прямой ac. Обозначим эту точку как P. Так как ∠adm и ∠apm являются соответственными углами, то они равны. Также, равны углы ∠dma и ∠pma, так как они являются углами, опирающимися на одну и ту же дугу da окружности ω. Из этих равенств следует, что треугольник adm подобен треугольнику apm по двум углам. В свою очередь, это означает, что соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны. Так как точка P является точкой касания окружности, описанной вокруг треугольника adm, с прямой ac, прямая ac будет касаться этой окружности.

4) Окружность, описанная вокруг треугольника mbd, касается прямой bc:
Докажем это утверждение. Аналогично предыдущему доказательству, рассмотрим точку касания окружности, описанной вокруг треугольника mbd, с прямой bc. Обозначим эту точку как Q. Так как ∠qbd и ∠mbd являются соответственными углами, то они равны. Также, равны углы ∠dbm и ∠dqm, так как они являются углами, опирающимися на одну и ту же дугу db окружности ω. Из этих равенств следует, что треугольник mbd подобен треугольнику qdm по двум углам. В свою очередь, это означает, что соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны. Так как точка Q является точкой касания окружности, описанной вокруг треугольника mbd, с прямой bc, прямая bc будет касаться этой окружности.

5) Окружность, описанная вокруг треугольника bcd, касается прямой bm:
Докажем это утверждение. Рассмотрим точку касания окружности, описанной вокруг треугольника bcd, с прямой bm. Обозначим эту точку как R. Аналогично предыдущим доказательствам, ∠rbc и ∠dbc являются соответственными углами и равны. Кроме того, равны углы ∠dcb и ∠dbr, так как они являются углами, опирающимися на одну и ту же дугу dc окружности ω. Из этих равенств следует, что треугольник bcd подобен треугольнику rbd по двум углам, а значит, соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны. Так как точка R является точкой касания окружности, описанной вокруг треугольника bcd, с прямой bm, прямая bm будет касаться этой окружности.

6) Описанные окружности треугольников acd и bdm касаются друг друга:
Докажем это утверждение. Обозначим точку касания этих окружностей как S. Рассмотрим прямую cs. Поскольку точка c является точкой касания окружности bdm с прямой cs, а точка c также является точкой касания окружности acd с прямой cs, то прямая cs будет являться общей касательной для обеих окружностей. Так как общая касательная к двум окружностям перпендикулярна радиусам, проведенным в точках касания, то прямая cs будет перпендикулярна радиусам окружностей acd и bdm. Следовательно, прямая cs будет также перпендикулярна отрезку cd, который является диаметром окружности acd. Таким образом, точка S будет лежать на отрезке cd, и, следовательно, окружности acd и bdm будут касаться друг друга.

7) cm является диаметром окружности ω:
Докажем это утверждение. Рассмотрим прямую cm. Поскольку точка c является точкой касания окружности ω с прямой cm, а точка m является точкой пересечения прямой cd с окружностью ω, то прямая cm будет являться диаметром окружности ω.

Таким образом, все эти утверждения гарантированно верны в данной задаче о касательных и хордах окружностей.