Чему равна производная функции cos3x в точке П/2? Чему равна производная функции cos2x в точке П/4? Чему равна

Diana

1

Давайте начнем с первой задачи. Нам нужно найти производную функции \(f(x) = \cos(3x)\) в точке \(\frac{\pi}{2}\).

Для начала, нам потребуется знание правила дифференцирования функции синуса и косинуса:
\[\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x) \quad \text{и} \quad \frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x)\]

Теперь мы можем продифференцировать нашу функцию. Для этого нам понадобится применить правило цепочки. Правило цепочки гласит, что если у нас есть функция вида \(f(g(x))\), то ее производная равна произведению производной внешней функции \(f"(g(x))\) на производную внутренней функции \(g"(x)\).

Применяя правило цепочки к функции \(f(x) = \cos(3x)\), мы получаем:
\[f"(x) = -\sin(3x) \cdot \frac{d}{dx}(3x)\]

Теперь давайте продифференцируем внутреннюю функцию \(\frac{d}{dx}(3x)\):
\[\frac{d}{dx}(3x) = 3\]

Таким образом, мы можем выразить производную \(f"(x)\) следующим образом:
\[f"(x) = -\sin(3x) \cdot 3\]

Теперь мы можем вычислить производную функции \(f(x) = \cos(3x)\) в точке \(\frac{\pi}{2}\). Для этого нам нужно подставить \(x = \frac{\pi}{2}\) в выражение для \(f"(x)\):
\[f"\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(3 \cdot \frac{\pi}{2}\right) \cdot 3\]

Упрощая это выражение, получаем:
\[f"\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) \cdot 3\]

Заметим, что значение синуса \(\frac{3\pi}{2}\) равно -1. Подставляя это в наше выражение, получаем:
\[f"\left(\frac{\pi}{2}\right) = -(-1) \cdot 3 = 3\]

Таким образом, производная функции \(f(x) = \cos(3x)\) в точке \(\frac{\pi}{2}\) равна 3.

Теперь перейдем ко второй задаче. Нам нужно найти производную функции \(g(x) = \cos(2x)\) в точке \(\frac{\pi}{4}\).

Применим тот же подход, что и в предыдущей задаче. Применяя правило цепочки, получим:
\[g"(x) = -\sin(2x) \cdot \frac{d}{dx}(2x)\]

Продифференцируем внутреннюю функцию \(\frac{d}{dx}(2x)\):
\[\frac{d}{dx}(2x) = 2\]

Таким образом, мы можем выразить производную \(g"(x)\) следующим образом:
\[g"(x) = -\sin(2x) \cdot 2\]

Теперь мы можем вычислить производную функции \(g(x) = \cos(2x)\) в точке \(\frac{\pi}{4}\). Для этого подставим \(x = \frac{\pi}{4}\) в выражение для \(g"(x)\):
\[g"\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) \cdot 2\]

Упрощая это выражение, получаем:
\[g"\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \cdot 2\]

Заметим, что значение синуса \(\frac{\pi}{2}\) равно 1. Подставляя это в наше выражение, получаем:
\[g"\left(\frac{\pi}{4}\right) = -(1) \cdot 2 = -2\]

Таким образом, производная функции \(g(x) = \cos(2x)\) в точке \(\frac{\pi}{4}\) равна -2.

Перейдем к третьей задаче. Нам нужно найти производную функции \(h(x) = \frac{x - 3}{x - 1}\) в точке \(x_0 = 2\).

Для начала, нам нужно привести функцию к более удобному виду перед дифференцированием:
\[h(x) = \frac{x - 3}{x - 1} = \frac{x - 1 - 2}{x - 1} = \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2}{x - 1} = 1 - \frac{2}{x - 1}\]

Теперь у нас есть более простая форма функции \(h(x)\). Продифференцируем ее:
\[\frac{d}{dx}(h(x)) = \frac{d}{dx}(1 - \frac{2}{x - 1})\]

Так как производная константы равна нулю, у нас остается только производная \(-\frac{2}{x - 1}\). Давайте продифференцируем ее:
\[\frac{d}{dx}\left(-\frac{2}{x - 1}\right) = -\frac{d}{dx}\left(\frac{2}{x - 1}\right)\]

Применим правило дифференцирования функции вида \(\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{x^2}\):
\[-\frac{d}{dx}\left(\frac{2}{x - 1}\right) = -(-\frac{2}{(x - 1)^2}) = \frac{2}{(x - 1)^2}\]

Теперь мы можем выразить производную \(h"(x)\) следующим образом:
\[h"(x) = \frac{2}{(x - 1)^2}\]

Теперь мы можем вычислить производную функции \(h(x) = \frac{x - 3}{x - 1}\) в точке \(x_0 = 2\). Для этого подставим \(x = 2\) в выражение для \(h"(x)\):
\[h"(2) = \frac{2}{(2 - 1)^2} = \frac{2}{1} = 2\]

Таким образом, производная функции \(h(x) = \frac{x - 3}{x - 1}\) в точке \(x_0 = 2\) равна 2.

Надеюсь, это пошаговое решение было понятным для вас. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.