2. Найдите а) координаты векторов AB и CB; б) длину вектора AB; в) координаты вектора 2AB – 3CB; г) косинус угла между

  • 50
2. Найдите а) координаты векторов AB и CB; б) длину вектора AB; в) координаты вектора 2AB – 3CB; г) косинус угла между векторами AB, если даны точки A(-2; 5; -6), B(7; -5; 1) и C(3; -7; 4).
Владимирович
1
Давайте решим задачу поэтапно.

а) Чтобы найти координаты векторов AB и CB, нужно вычислить разность соответствующих координат точек. Для вектора AB вычтем из координат точки B координаты точки A, а для вектора CB - из координат точки B координаты точки C.

\[
AB = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) = (7 - (-2), (-5) - 5, 1 - (-6)) = (9, -10, 7)
\]

\[
CB = (x_B - x_C, y_B - y_C, z_B - z_C) = (7 - 3, (-5) - 5, 1 - 1) = (4, -10, 0)
\]

Таким образом, координаты вектора AB равны (9, -10, 7), а координаты вектора CB - (4, -10, 0).

б) Длина вектора AB может быть найдена с использованием формулы для вычисления длины вектора:

\[
|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}
\]

Подставим значения координат вектора AB:

\[
|AB| = \sqrt{(9)^2 + (-10)^2 + (7)^2} = \sqrt{81 + 100 + 49} = \sqrt{230} \approx 15.13
\]

Таким образом, длина вектора AB около 15.13.

в) Чтобы найти координаты вектора 2AB - 3CB, нужно умножить каждую координату векторов AB и CB на соответствующие коэффициенты и сложить полученные значения.

\[
2AB - 3CB = (2 \cdot 9 - 3 \cdot 4, 2 \cdot (-10) - 3 \cdot (-10), 2 \cdot 7 - 3 \cdot 0) = (18 - 12, -20 + 30, 14 - 0) = (6, 10, 14)
\]

Таким образом, координаты вектора 2AB - 3CB равны (6, 10, 14).

г) Чтобы найти косинус угла между векторами AB, нужно воспользоваться формулой:

\[
\cos\theta = \frac{{AB \cdot CB}}{{|AB| \cdot |CB|}}
\]

где AB \cdot CB - скалярное произведение векторов AB и CB, а |AB| и |CB| - длины векторов AB и CB соответственно.

Вычислим сначала скалярное произведение AB \cdot CB:

\[
AB \cdot CB = (9 \cdot 4) + (-10 \cdot (-10)) + (7 \cdot 0) = 36 + 100 + 0 = 136
\]

А теперь подставим значения в формулу и рассчитаем косинус угла:

\[
\cos\theta = \frac{{136}}{{\sqrt{230} \cdot \sqrt{116}}} \approx 0.724
\]

Таким образом, косинус угла между векторами AB приближенно равен 0.724.

Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.