2. Отметьте на координатной плоскости следующие точки: а) A(-6; -3), б) B(-2; 3), в) C(1; 6), г) D(9; -3), д) E(6

Пупсик_8384

28

Добро пожаловать! Вам нужно отметить точки на координатной плоскости и решить несколько задач, связанных с этими точками. Давайте начнем с отметки точек на плоскости.

а) Точка A имеет координаты (-6; -3). Чтобы отметить эту точку на плоскости, мы двигаемся 6 единиц влево и 3 единицы вниз от начала координат.

б) Точка B имеет координаты (-2; 3). Для отметки точки B на плоскости мы двигаемся 2 единицы влево и 3 единицы вверх от начала координат.

в) Точка C имеет координаты (1; 6). Чтобы отметить эту точку на плоскости, мы двигаемся 1 единицу вправо и 6 единиц вверх от начала координат.

г) Точка D имеет координаты (9; -3). Для отметки точки D на плоскости мы двигаемся 9 единиц вправо и 3 единицы вниз от начала координат.

д) Точка E имеет координаты (6; 7). Чтобы отметить эту точку на плоскости, мы двигаемся 6 единиц вправо и 7 единиц вверх от начала координат.

Теперь перейдем к задачам:

а) Чтобы найти координаты точки пересечения отрезка AB с осью абсцисс, мы ищем точку, у которой ордината равна 0. Обратите внимание, что прямая AB параллельна оси ординат. То есть точка пересечения будет иметь координаты вида (x, 0). Рассмотрим отрезок AB, его начальная точка имеет координаты (-6, -3), а конечная точка - (-2, 3).

Для определения координаты x точки пересечения с осью абсцисс, мы можем создать уравнение отрезка соответствующей прямой и приравнять ординату к нулю. Здесь x - искомая координата точки пересечения.

Используя формулу точки на прямой, мы получаем:
\[\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}\]

Подставляем значения:
\[\frac{0 - (-3)}{3 - (-3)} = \frac{x - (-6)}{-2 - (-6)}\]

Упрощаем:
\[\frac{3}{6} = \frac{x + 6}{4}\]

Теперь умножим обе части уравнения на 6, чтобы избавиться от дроби:
\[3 = \frac{x + 6}{4} \cdot 6\]
\[3 = \frac{x + 6}{2}\]

Раскроем скобку:
\[3 = \frac{x}{2} + 3\]

Вычтем 3 из обеих частей уравнения:
\[0 = \frac{x}{2}\]

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:
\[0 = x\]

Таким образом, координата x точки пересечения отрезка AB с осью абсцисс равна 0. То есть точка пересечения имеет координаты (0, 0), что является началом координат.

б) Чтобы найти координаты точки пересечения отрезков BE и CD, мы должны найти точку, в которой эти отрезки пересекаются.

Рассмотрим отрезок BE с начальной точкой (-2, 3) и конечной точкой (6, 7), и отрезок CD с начальной точкой (1, 6) и конечной точкой (9, -3).

Чтобы найти точку пересечения, мы также можем использовать формулу точки на прямой:
\[\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}\]

Уравнение для отрезка BE:
\[\frac{y - 3}{7 - 3} = \frac{x - (-2)}{6 - (-2)}\]

Уравнение для отрезка CD:
\[\frac{y - 6}{(-3) - 6} = \frac{x - 1}{9 - 1}\]

Мы получили два уравнения. Теперь сложим их и найдем значение x и y точки пересечения.

\[\frac{y - 3}{4} = \frac{x + 2}{8}\]
\[\frac{y - 6}{-9} = \frac{x - 1}{8}\]

Умножим первое уравнение на 2 и второе на 9, чтобы избавиться от дробей:
\[\frac{2(y - 3)}{4} = \frac{2(x + 2)}{8}\]
\[\frac{9(y - 6)}{-9} = \frac{9(x - 1)}{8}\]

Раскроем скобки:
\[\frac{y - 3}{2} = \frac{x + 2}{4}\]
\[\frac{y - 6}{-1} = \frac{x - 1}{8}\]

Из первого уравнения получаем:
\[2(y - 3) = (x + 2)\]
\[2y - 6 = x + 2\]
\[2y = x + 8\]

Из второго уравнения получаем:
\[-9(y - 6) = 9(x - 1)\]
\[-9y + 54 = 9x - 9\]
\[9x + 9y = 63\]

Умножим первое уравнение на 9:
\[18y = 9x + 72\]

Теперь сложим оба уравнения, чтобы избавиться от x:
\[9x + 9x + 9y + 18y = 63 + 72\]
\[18x + 27y = 135\]

Найдем y, подставив в уравнение 18y = x + 8:
\[27y = 135 - 8\]
\[27y = 127\]
\[y = \frac{127}{27}\]

Теперь найдем x, подставив значение y в уравнение 2y = x + 8:
\[2 \cdot \frac{127}{27} = x + 8\]
\[\frac{127}{27} = x + 8\]
\[x = \frac{127}{27} - 8\]
\[x = \frac{31}{27}\]

Таким образом, координаты точки пересечения отрезков BE и CD равны \(\left(\frac{31}{27}, \frac{127}{27}\right)\).

в) Чтобы найти координаты точки пересечения отрезка CD с прямой AB, мы должны рассмотреть уравнения обоих отрезков и найти их точку пересечения.

Уравнение прямой AB:
\[\frac{y - (-3)}{3 - (-3)} = \frac{x - (-6)}{-2 - (-6)}\]

Уравнение отрезка CD:
\[\frac{y - 6}{(-3) - 6} = \frac{x - 1}{9 - 1}\]

Также можно записать уравнение прямой AB в более привычной форме:
\[y = \frac{1}{2}x - 2\]

Подставим это уравнение в уравнение отрезка CD:
\[\frac{x + 2}{2} - 6 = \frac{x - 1}{8}\]

Умножим оба уравнения на 8, чтобы избавиться от дробей:
\[4(x + 2) - 48 = x - 1\]
\[4x + 8 - 48 = x - 1\]
\[3x = 41\]
\[x = \frac{41}{3}\]

Теперь найдем y, подставив значение x в уравнение прямой AB:
\[y = \frac{1}{2} \cdot \frac{41}{3} - 2\]
\[y = \frac{41}{6} - 2\]
\[y = \frac{23}{6}\]

Таким образом, координаты точки пересечения отрезка CD с прямой AB равны \(\left(\frac{41}{3}, \frac{23}{6}\right)\).

г) Чтобы найти координаты точки пересечения отрезка с осью ординат, мы ищем точку, у которой абсцисса равна 0. Обратите внимание, что прямая CD параллельна оси абсцисс. То есть точка пересечения будет иметь координаты вида (0, y). Рассмотрим отрезок CD, его начальная точка имеет координаты (1, 6), а конечная точка - (9, -3).

Для определения координаты y точки пересечения с осью ординат, мы можем использовать формулу точки на прямой и приравнять абсциссу к нулю. Здесь y - искомая координата точки пересечения.

Используя формулу точки на прямой, мы получаем:
\[\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}\]

Подставляем значения:
\[\frac{y - 6}{-3 - 6} = \frac{0 - 1}{9 - 1}\]

Упрощаем:
\[\frac{y - 6}{-9} = \frac{-1}{8}\]

Раскрываем скобку:
\[-8(y - 6) = -9 \cdot (-1)\]
\[-8y + 48 = 9\]
\[-8y = 9 - 48\]
\[-8y = -39\]
\[y = \frac{-39}{-8}\]
\[y = \frac{39}{8}\]

Таким образом, координата y точки пересечения отрезка CD с осью ординат равна \(\frac{39}{8}\). То есть точка пересечения имеет координаты (0, \(\frac{39}{8}\)).

2. Теперь отметим точки М(6; 6), N(-4; 2), K(4; 1) и Р(-3; 8) на координатной плоскости.

Далее, перейдем к задачам:

1) Прямая MN задана точками М(6; 6) и N(-4; 2). Чтобы найти координаты точки пересечения прямых MN и KP, нам необходимо иметь уравнения этих прямых.

Уравнение прямой MN можно получить, используя формулу наклона:
\[m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\]

Подставляем значения:
\[m = \frac{2 - 6}{-4 - 6} = \frac{-4}{-10} = \frac{2}{5}\]

Теперь, зная наклон прямой MN и одну из точек на этой прямой (например, M(6; 6)), мы можем записать уравнение этой прямой в форме "y = mx + c", где m - наклон и c - координата точки пересечения прямой с осью ординат (т.е. срез с осью, где x = 0).

Подставляем значения:
\[y = \frac{2}{5}x + c\]

Для определения точки пересечения прямых MN и KP нам также необходимо иметь уравнение прямой KP. Уравнение этой прямой можно получить, зная точки K(4; 1) и P(-3; 8). Используем ту же формулу для наклона:
\[m = \frac{8 - 1}{-3 - 4} = \frac{7}{-7} = -1\]

Теперь, зная наклон прямой KP и одну из точек на этой прямой (например, K(4; 1)), мы можем записать уравнение этой прямой в форме "y = mx + c", где m - наклон и c - координата точки пересечения прямой с осью ординат.

Подставляем значения:
\[y = -1 \cdot x + c\]

Таким образом, у нас есть два уравнения:
(1) \(y = \frac{2}{5}x + c\) - уравнение прямой MN
(2) \(y = -x + c\) - уравнение прямой KP

Теперь найдем точку пересечения этих прямых