2. Подайте формулу для квадратного рівняння, якого сума коренів становить 6, а добуток коренів дорівнює числу

Polina

40

Квадратное уравнение представляет собой уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - это коэффициенты, причем \(a \neq 0\).

Сумма корней квадратного уравнения можно выразить через формулу Виета: \(\alpha + \beta = \frac{-b}{a}\), где \(\alpha\) и \(\beta\) - корни уравнения.

Добуток корней квадратного уравнения также можно выразить через формулу Виета: \(\alpha \cdot \beta = \frac{c}{a}\).

В данной задаче известно, что сумма корней составляет 6, а их произведение равно 4.

Используя формулы Виета, мы можем записать систему уравнений:

\[
\begin{cases}
\alpha + \beta = 6 \\
\alpha \cdot \beta = 4
\end{cases}
\]

Решим эту систему уравнений. Для этого воспользуемся методом подстановки.

Из первого уравнения можно выразить одну из переменных:

\(\alpha = 6 - \beta\)

Подставим это выражение во второе уравнение:

\((6 - \beta) \cdot \beta = 4\)

Раскроем скобки:

\(6\beta - \beta^2 = 4\)

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

\(\beta^2 - 6\beta + 4 = 0\)

Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое можно решить с помощью формулы дискриминанта.

Дискриминант квадратного уравнения вычисляется по формуле: \(D = b^2 - 4ac\).

В данном случае \(a = 1\), \(b = -6\) и \(c = 4\):

\(D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4\)

\(D = 36 - 16\)

\(D = 20\)

Если дискриминант положительный (\(D > 0\)), то у уравнения два различных корня. Если дискриминант равен нулю (\(D = 0\)), то у уравнения есть один корень кратности два. Если дискриминант отрицательный (\(D < 0\)), то у уравнения нет действительных корней.

В нашем случае дискриминант равен 20, что означает, что у уравнения два различных действительных корня.

Используя формулу для корней квадратного уравнения, можно найти значения корней:

\(\beta_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)

\(\beta_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}\)

\(\beta_{1,2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2}\)

\(\beta_1 = 3 + \sqrt{5}\)

\(\beta_2 = 3 - \sqrt{5}\)

Так как сумма корней составляет 6, то можно найти значение второго корня \(\alpha\) следующим образом:

\(\alpha = 6 - \beta_1\)

\(\alpha = 6 - (3 + \sqrt{5})\)

\(\alpha = 3 - \sqrt{5}\)

Таким образом, формула для квадратного уравнения, сумма корней которого составляет 6, а произведение корней равно 4, записывается следующим образом:

\(x^2 - 6x + 4 = 0\)