23.7. Якщо у циліндричну посудину, заповнену водою, опустити металеву деталь, то деталь буде повністю занурена у воду

Муха

22

Добро пожаловать! Для решения этой задачи визуализируем посудину с водой и металлической деталью. Поскольку деталь полностью погружена в воду, ее объем равен изменению объема воды в посудине.

Для начала разберемся с объемом воды, который поднялся в посудине. Мы знаем, что уровень воды поднялся на 14 см от изначального положения. Обозначим эту высоту через \(h\).

Из известных данных следует, что уровень воды не достигает края посудины, значит, некоторая часть посудины остается незаполненной. Обозначим высоту незаполненной части через \(h_0\).

Общая высота посудины равна сумме высоты поднятой воды и незаполненной части: \(H = h + h_0\).

Мы также знаем, что внутренний диаметр посудины равен 20 см, что означает, что радиус посудины \(r\) равен половине диаметра, т.е. \(r = 10 \, \text{см}\).

Обозначим площадь поперечного сечения посудины (основания) через \(S\).

Используя геометрические свойства цилиндра, площадь поперечного сечения можно выразить через радиус посудины:

\[S = \pi \cdot r^2\]

Теперь мы можем выразить объем воды в посудине:

\[V_{\text{воды}} = S \cdot h\]

Поскольку деталь полностью затоплена в воде, ее объем должен быть равен объему воды:

\[V_{\text{детали}} = V_{\text{воды}}\]

Составим уравнение, используя полученные выражения:

\[S \cdot h = V_{\text{детали}}\]

Подставим известные значения:

\[\pi \cdot (10 \, \text{см})^2 \cdot 14 \, \text{см} = V_{\text{детали}}\]

Вычислим значение выражения:

\[\pi \cdot 100 \, \text{см}^2 \cdot 14 \, \text{см} = V_{\text{детали}}\]

\[\pi \cdot 1400 \, \text{см}^3 = V_{\text{детали}}\]

Таким образом, объем детали равен \(\pi \cdot 1400 \, \text{см}^3\).

Ответом на задачу является объем детали, равный \(\pi \cdot 1400 \, \text{см}^3\). Не забудьте проверить единицы измерения и округлить ответ при необходимости.