3. Рewrite the question about finding the equation of a line passing through point A (-1, 2): a) parallel to the line

Polyarnaya

51

Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через точку A (-1, 2) и параллельной прямой y = 2x - 7, мы можем использовать тот факт, что параллельные прямые имеют одинаковый наклон.

Прямая y = 2x - 7 уже находится в уравнении "наклон-intercept" (y = mx + b), где m - это коэффициент наклона (slope), равный 2.

Таким образом, новая прямая, проходящая через точку A (-1, 2) и параллельная линии y = 2x - 7, также будет иметь коэффициент наклона 2.

Для определения уравнения прямой, нам нужно использовать формулу "наклон-intercept". Мы знаем, что коэффициент наклона m равняется 2, и мы также знаем координаты точки A (-1, 2). Подставляя эти значения в формулу, мы получаем:

y = mx + b
2 = 2*(-1) + b
2 = -2 + b

Теперь решим уравнение для b:
2 + 2 = b
b = 4

Таким образом, уравнение искомой прямой, проходящей через точку A (-1, 2) и параллельной прямой y = 2x - 7, будет иметь вид y = 2x + 4.

Теперь рассмотрим вторую часть задачи. Мы должны найти уравнение прямой, проходящей через точку A (-1, 2) и перпендикулярной линии x + 3y - 2 = 0.

Чтобы найти уравнение перпендикулярной линии, нам нужно знать, что перпендикулярные прямые имеют противоположные обратные наклоны.

Прямая x + 3y - 2 = 0 уже находится в уравнении "общего вида" (общая форма), поэтому мы должны сначала преобразовать ее в форму "наклон-отрезок" (slope-intercept).

Для начала, преобразуем уравнение x + 3y - 2 = 0 в форму "наклон-отрезок":

x + 3y - 2 = 0
3y = -x + 2
y = (-1/3)x + 2/3

Теперь у нас есть уравнение в форме "наклон-отрезок" с коэффициентом наклона -1/3. Чтобы найти уравнение перпендикулярной прямой, мы должны найти противоположную обратную величину наклона.

Обратная величина наклона -1/3 будет 3/1 или просто 3. Затем наклоном перпендикулярной прямой будет -3.

Таким образом, нами уже найден наклон перпендикулярной прямой. Теперь, используя координаты точки A (-1, 2) и наклон -3, мы можем использовать формулу "наклон-intercept" для определения уравнения прямой.

Подставим значения в формулу:

y = mx + b
2 = -3*(-1) + b
2 = 3 + b

Решим уравнение для b:

2 - 3 = b
-1 = b

Таким образом, уравнение искомой прямой, проходящей через точку A (-1, 2) и перпендикулярной линии x + 3y - 2 = 0, будет иметь вид y = -3x - 1.

Теперь перейдем к следующей задаче.

Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через точку B (2, -3) и параллельной линии, соединяющей точки M1 (-4, 0) и M2 (2, 2), мы можем использовать тот же принцип, что параллельные прямые имеют одинаковый наклон.

Чтобы найти наклон прямой, соединяющей точки M1 (-4, 0) и M2 (2, 2), мы можем использовать формулу "наклон-отрезок":

m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

Подставим координаты точек и решим:

m = (2 - 0) / (2 - (-4))
= 2 / 6
= 1/3

Теперь мы знаем наклон прямой, соединяющей точки M1 (-4, 0) и M2 (2, 2). Чтобы найти уравнение параллельной прямой, проходящей через точку B (2, -3), мы можем использовать формулу "наклон-intercept":

y = mx + b

Мы знаем, что коэффициент наклона m равен 1/3, и мы знаем координаты точки B (2, -3). Подставляя эти значения в формулу, мы получаем:

-3 = 1/3 * 2 + b

Теперь решим уравнение для b:

-3 - 2/3 = b
-9/3 - 2/3 = b
-11/3 = b

Таким образом, уравнение искомой прямой, проходящей через точку B (2, -3) и параллельной линии, соединяющей точки M1 (-4, 0) и M2 (2, 2), будет иметь вид y = 1/3x - 11/3.

Наконец, рассмотрим вторую часть задачи. Мы должны найти уравнение прямой, проходящей через точку B (2, -3) и перпендикулярной прямой x + 3y - 2 = 0.

Для начала, преобразуем уравнение x + 3y - 2 = 0 в форму "наклон-отрезок" (slope-intercept) форму:

x + 3y - 2 = 0
3y = -x + 2
y = (-1/3)x + 2/3

Теперь у нас есть уравнение в форме "наклон-отрезок" с коэффициентом наклона -1/3. Чтобы найти наклон перпендикулярной прямой, мы должны знать, что перпендикулярные прямые имеют противоположные обратные наклоны. В нашем случае это 3/1 или просто 3.

Таким образом, нами уже найден наклон перпендикулярной прямой. Теперь, используя координаты точки B (2, -3) и наклон 3, мы можем использовать формулу "наклон-intercept" для определения уравнения прямой.

Подставим значения в формулу:

y = mx + b
-3 = 3 * 2 + b

Решим уравнение для b:

-3 - 6 = b
-9 = b

Таким образом, уравнение искомой прямой, проходящей через точку B (2, -3) и перпендикулярной прямой x + 3y - 2 = 0, будет иметь вид y = 3x - 9.