Какова вероятность того, что в случайно выбранном году 28 февраля и 7 марта выпадут на воскресенье? Для сигнализации

Черная_Роза

39

Для решения первой задачи, найдем вероятность того, что 28 февраля выпадет на воскресенье. Заметим, что в случайно выбранном году дни недели равновероятны и повторяются через каждые 7 дней. Воскресенье всегда остается на одном и том же месте в последовательности дней недели, поэтому вероятность того, что случайно выбранный день выпадет на воскресенье, равна 1/7.

Теперь найдем вероятность того, что 7 марта выпадет на воскресенье. Обратим внимание, что 7 марта всегда находится за 6 дней до 28 февраля. Значит, вероятность выпадения 7 марта на воскресенье также равна 1/7.

Так как задача предполагает наступление двух независимых событий (выпадения 28 февраля и 7 марта на воскресенье), мы можем использовать правило умножения вероятностей. Вероятность наступления обоих событий будет равна произведению вероятностей каждого события:

\[\frac{1}{7} \times \frac{1}{7} = \frac{1}{49}\]

Таким образом, вероятность того, что в случайно выбранном году и 28 февраля, и 7 марта выпадут на воскресенье, равна \(\frac{1}{49}\).

Теперь рассмотрим вторую задачу. Для нахождения вероятности того, что при аварии сработает только один сигнализатор, мы должны рассмотреть два случая: сработка первого сигнализатора и неприсутствие сработки второго сигнализатора, и сработка второго сигнализатора и неприсутствие сработки первого сигнализатора.

Предположим, что вероятность сработки сигнализатора равна \(p\) (для обоих сигнализаторов). Тогда вероятность того, что при аварии сработает только первый сигнализатор, равна \((p)(1-p)\), так как первый сигнализатор срабатывает, а второй - нет. Аналогично, вероятность того, что при аварии сработает только второй сигнализатор, также равна \((1-p)(p)\).

Суммируя эти два случая, мы получаем вероятность для одного из сигнализаторов:

\((p)(1-p) + (1-p)(p) = 2p(1-p)\)

Так как два сигнализатора работают независимо, мы можем умножить вероятность срабатывания одного из них на вероятность несрабатывания другого:

\[2p(1-p)\]

Таким образом, вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор, равна \(2p(1-p)\).

Наконец, перейдем к третьей задаче. Чтобы найти вероятность того, что при аварии сработает хотя бы один сигнализатор, мы можем рассмотреть все возможные случаи, когда хотя бы один из двух сигнализаторов сработает.

Существует три возможных ситуации: только первый сигнализатор срабатывает, только второй сигнализатор срабатывает и оба сигнализатора срабатывают. Вероятность каждой из этих ситуаций мы уже нашли во второй задаче и обозначим их как \(P_1\), \(P_2\) и \(P_{both}\) соответственно.

Вероятность того, что хотя бы один из сигнализаторов сработает, равна сумме перечисленных вероятностей:

\[P_1 + P_2 + P_{both} = 2p(1-p) + 2p(1-p) + p^2\]

Таким образом, вероятность того, что при аварии сработает хотя бы один сигнализатор, равна \(4p(1-p) + p^2\).