3. В треугольнике MNP имеются следующие данные: угол P равен 90 градусов, длина стороны MP равна 6, длина стороны

Цыпленок

65

Для решения данной задачи мы можем использовать теорему Пифагора и свойства медианы треугольника.

По условию задачи, угол P треугольника MNP равен 90 градусов, что говорит о том, что данный треугольник является прямоугольным.

Известно, что длина стороны MP равна 6 и стороны PN равна 8. Найдем длину стороны MN, применяя теорему Пифагора:

\[MN = \sqrt{MP^2 + PN^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10.\]

Таким образом, длина стороны MN равна 10.

Далее, по свойству медианы треугольника, медиана делит сторону, которой она прилегает, пополам. Таким образом, длина стороны PE равна \((\frac{1}{2})MN = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5.\)

По условию задачи, через вершину P проведена прямая PK, которая перпендикулярна плоскости треугольника MNP. Дано, что длина RK равна 12. Требуется найти длину PK.

Поскольку PK и MN являются параллельными прямыми и пересекаются прямой RK, то треугольники PKN и PKR подобны друг другу по принципу угловых между сторонами.

Мы можем использовать соотношение сторон подобных треугольников:

\(\frac{PK}{PN} = \frac{RK}{KN}.\)

Известно, что длина RK равна 12, а длина PN равна 8. Найдем длину KN, применяя теорему Пифагора:

\[KN = \sqrt{MN^2 - NK^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8.\]

Теперь мы можем решить пропорцию:

\(\frac{PK}{8} = \frac{12}{8}.\)

Упрощая эту пропорцию, мы получим:

\(PK = \frac{12}{8} \times 8 = 12.\)

Таким образом, длина стороны PK равна 12.

В итоге, мы нашли длину стороны PK, которая равна 12.