3. В угле A вписана окружность, E – точка касания со стороной. Через точку окружности D проведена касательная

Magicheskiy_Labirint

18

Дано:
Угол \( \angle A \) с вписанной окружностью, касающейся стороны угла в точке E. Касательная, проходящая через точку окружности D, пересекает стороны угла в точках B и C.

Решение:

а) Найдем длину отрезка AE.
По свойству касательной к окружности, отрезок, соединяющий точку касания и точку касания касательной через внешнюю точку, равен радиусу окружности. Поэтому \( AE = r \), где r - радиус окружности.

б) Найдем периметр треугольника ABC.
Так как BC и AE являются касательными к окружности из одной точки, то по свойству касательной угол между касательной и радиусом, проведенным к точке касания, равен углу, образуемому хордой на окружности. Таким образом, угол BAC равен углу в центре BDC, который в свою очередь равен половине угла BOC (угол между касательными), так как дуга AC вписана.

Из этого следует, что угол BAC равен половине угла BOC. Значит, угол BOC = 2 * угол BAC = 2 * угол BAE. Далее, угол в треугольнике BOC равен 180 градусов, так как это угол на основании, а угол BAC равен 180 - угол BOC = 180 - 2 * угол BAE.

Теперь мы можем найти периметр треугольника ABC. Пусть точка касания к стороне угла равна F. Тогда по теореме косинусов в треугольнике BAF:
\( AF^2 = AB^2 + BF^2 - 2 * AB * BF * \cos \angle BAF \)

Аналогично в треугольнике AFC:
\( AF^2 = AC^2 + CF^2 - 2 * AC * CF * \cos \angle CAF \)

Так как \( \angle BAF = \angle CAF = \angle BOC/2 \), подставляем значения и продолжаем дальше решение.