3. Які є значення бічного ребра та площі перерізу прямої призми, якщо основа її є рівнобедреним трикутником з основою

Muzykalnyy_Elf

43

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать свойство рівнобедреного трикутника, а также некоторые геометрические соображения.

Обозначим бічне ребро прямої призми как $h$ см, а площадь перерізу как $S$ квадратных сантиметров.

Согласно условию, основа призми является рівнобедреним трикутником с основой 12 см и бічною стороною $3\sqrt{6}$ см. Значит, высота рівнобедреного трикутника будет равна:
$$h_{triangle}=\sqrt{(3\sqrt{6}{)}^2-{\left(\frac{12}{2}\right)}^2}$$
$$h_{triangle}=\sqrt{54-36}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\text{ см}$$

Теперь давайте рассмотрим плоскость, которая проходит через бічну сторону основы и образует угол 45° с плоскостью основы. Создадим биссектрису угла между этой плоскостью и плоскостью основы.

Получившийся треугольник будет прямоугольным, так как биссектриса разделяет исходный угол 45° на два равных угла по 22.5° каждый.

Теперь мы можем рассмотреть данный прямоугольный треугольник. Пусть бічне ребро призми составляет одну из сторон этого треугольника, а вторая сторона равносильна прямой, которая является пересечением плоскости призмы и плоскости треугольника. По определению прямоугольного треугольника, вторая сторона будет равна $h_{triangle}/\sqrt{2}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=3\text{ см}$. Третья сторона треугольника будет равняться $h$.

Мы уже знаем, что угол между плоскостью основы и плоскостью, проходящей через бічну сторону основы призмы, равен 45°. Так как грани призмы параллельны плоскости основы, то треугольники, образованные бічным ребром и боковыми гранями призмы, будут подобными. Значит, угол между боковой гранью и основой каждого из этих треугольников также будет равен 45°.

Теперь мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный плоскостью основы и боковой гранью призмы. Бічне ребро призми будет являться гипотенузой этого треугольника, а стороны треугольника будут равны $h$ и $\frac{h}{\sqrt{2}}$. Так как угол между гипотенузой и одной из катетов равен 45°, причем соответствующие катеты и гипотенуза треугольника имеют пропорциональные длины, то мы можем записать следующее уравнение:
$$\frac{h}{\frac{h}{\sqrt{2}}}=\frac{h_{triangle}}{3}$$

Решим данное уравнение:
$$\frac{h}{\frac{h}{\sqrt{2}}}=\frac{h_{triangle}}{3}$$
$$\frac{\sqrt{2}}{1}=\frac{h_{triangle}}{h}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\frac{h}{\sqrt{2}}}$$
$$\sqrt{2}=\frac{h_{triangle}}{\frac{h}{\sqrt{2}}}$$
$$\sqrt{2}=\frac{3\sqrt{2}}{\frac{h}{\sqrt{2}}}$$
$$\sqrt{2}\cdot \frac{h}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$$
$$h=3$$

Таким образом, значение бічного ребра прямої призми равно 3 см.

Теперь рассмотрим площадь перерізу. Площадь перерізу прямої призми равна произведению длин основы призми и длины плоскости, проходящей через бічну сторону основы и перпендикулярной плоскости основы.

Длина плоскости, проходящей через бічну сторону основы, равна бічному ребру прямої призми, то есть 3 см.

Площадь перерізу теперь можно выразить следующим образом:
$$S=12\cdot 3=36{\text{ см}}^2$$

Таким образом, площа перерізу прямої призми составляет 36 квадратных сантиметров.