3. Які є значення бічного ребра та площі перерізу прямої призми, якщо основа її є рівнобедреним трикутником з основою

Muzykalnyy_Elf

43

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать свойство рівнобедреного трикутника, а также некоторые геометрические соображения.

Обозначим бічне ребро прямої призми как \(h\) см, а площадь перерізу как \(S\) квадратных сантиметров.

Согласно условию, основа призми является рівнобедреним трикутником с основой 12 см и бічною стороною \(3\sqrt{6}\) см. Значит, высота рівнобедреного трикутника будет равна:
\[h_{triangle} = \sqrt{(3\sqrt{6})^2 - \left(\frac{12}{2}\right)^2}\]
\[h_{triangle} = \sqrt{54 - 36} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \text{ см}\]

Теперь давайте рассмотрим плоскость, которая проходит через бічну сторону основы и образует угол 45° с плоскостью основы. Создадим биссектрису угла между этой плоскостью и плоскостью основы.

Получившийся треугольник будет прямоугольным, так как биссектриса разделяет исходный угол 45° на два равных угла по 22.5° каждый.

Теперь мы можем рассмотреть данный прямоугольный треугольник. Пусть бічне ребро призми составляет одну из сторон этого треугольника, а вторая сторона равносильна прямой, которая является пересечением плоскости призмы и плоскости треугольника. По определению прямоугольного треугольника, вторая сторона будет равна \(h_{triangle} / \sqrt{2} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 3 \text{ см}\). Третья сторона треугольника будет равняться \(h\).

Мы уже знаем, что угол между плоскостью основы и плоскостью, проходящей через бічну сторону основы призмы, равен 45°. Так как грани призмы параллельны плоскости основы, то треугольники, образованные бічным ребром и боковыми гранями призмы, будут подобными. Значит, угол между боковой гранью и основой каждого из этих треугольников также будет равен 45°.

Теперь мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный плоскостью основы и боковой гранью призмы. Бічне ребро призми будет являться гипотенузой этого треугольника, а стороны треугольника будут равны \(h\) и \(\frac{h}{\sqrt{2}}\). Так как угол между гипотенузой и одной из катетов равен 45°, причем соответствующие катеты и гипотенуза треугольника имеют пропорциональные длины, то мы можем записать следующее уравнение:
\[\frac{h}{\frac{h}{\sqrt{2}}}= \frac{h_{triangle}}{3}\]

Решим данное уравнение:
\[\frac{h}{\frac{h}{\sqrt{2}}}= \frac{h_{triangle}}{3}\]
\[\frac{\sqrt{2}}{1} = \frac{h_{triangle}}{h} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\frac{h}{\sqrt{2}}}\]
\[\sqrt{2} = \frac{h_{triangle}}{\frac{h}{\sqrt{2}}}\]
\[\sqrt{2} = \frac{3\sqrt{2}}{\frac{h}{\sqrt{2}}}\]
\[\sqrt{2} \cdot \frac{h}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}\]
\[h = 3\]

Таким образом, значение бічного ребра прямої призми равно 3 см.

Теперь рассмотрим площадь перерізу. Площадь перерізу прямої призми равна произведению длин основы призми и длины плоскости, проходящей через бічну сторону основы и перпендикулярной плоскости основы.

Длина плоскости, проходящей через бічну сторону основы, равна бічному ребру прямої призми, то есть 3 см.

Площадь перерізу теперь можно выразить следующим образом:
\[S = 12 \cdot 3 = 36 \text{ см}^2\]

Таким образом, площа перерізу прямої призми составляет 36 квадратных сантиметров.