34. Какое изменение ∆т1 от начального значения необходимо для повышения среднеквадратичной скорости молекул до значения
34. Какое изменение ∆т1 от начального значения необходимо для повышения среднеквадратичной скорости молекул до значения = 600 м/с, если при повышении температуры на ∆t = 250 к от этого же начального значения среднеквадратичная скорость молекул возрастает с = 300 м/с до = 400 м/с?
Юпитер 55
Для начала, вспомним формулу, связывающую среднеквадратичную скорость молекул с температурой:\[v = \sqrt{\frac{{3kT}}{{m}}}\]
где:
\(v\) - среднеквадратичная скорость молекул
\(k\) - постоянная Больцмана (это физическая константа, которую мы возьмем равной \(1.38 \times 10^{-23} \, \text{Дж/К}\))
\(T\) - температура в кельвинах (к)
\(m\) - масса молекулы
Нам нужно найти изменение температуры \(\Delta t_1\), которое увеличит среднеквадратичную скорость с \(300 \, \text{м/с}\) до \(600 \, \text{м/с}\). Пусть \(T_1\) - начальная температура, а \(T_2\) - конечная температура.
Из первого уравнения мы получаем:
\[300 = \sqrt{\frac{{3kT_1}}{{m}}}\]
Возведем обе части уравнения в квадрат и разделим на \(3k\):
\[90000 = \frac{{3kT_1}}{{m}}\]
Теперь найдем изменение температуры \(\Delta t\) при изменении температуры на \(250 \, \text{К}\):
\(\Delta t = 250 \, \text{К}\)
Из второго уравнения мы получаем:
\[400 = \sqrt{\frac{{3k(T_1 + \Delta t)}}{{m}}}\]
Возведем обе части уравнения в квадрат и разделим на \(3k\):
\[160000 = \frac{{3k(T_1 + \Delta t)}}{{m}}\]
Теперь, подставим значение \(400\) вместо \(v\) и \(160000\) вместо \(90000 + \frac{{3kT_1}}{{m}}\):
\[160000 = 90000 + \frac{{3kT_1}}{{m}} + \frac{{3k \Delta t}}{{m}}\]
Выразим \(\frac{{3k \Delta t}}{{m}}\):
\[\frac{{3k \Delta t}}{{m}} = 160000 - 90000 - \frac{{3kT_1}}{{m}}\]
\[\frac{{3k \Delta t}}{{m}} = 70000 - \frac{{3kT_1}}{{m}}\]
Теперь, подставим значение \(\Delta t = 250\) и упростим уравнение:
\[\frac{{3k \cdot 250}}{{m}} = 70000 - \frac{{3kT_1}}{{m}}\]
\[750k = 70000 - 3kT_1\]
Теперь, найдем \(\Delta t_1\), используя начальную и конечную температуру:
\[\Delta t_1 = T_2 - T_1\]
\[\Delta t_1 = 600 \, \text{м/с} - 300 \, \text{м/с}\]
\[\Delta t_1 = 300 \, \text{м/с}\]
Таким образом, для повышения среднеквадратичной скорости молекул до \(600 \, \text{м/с}\) необходимо изменить начальную температуру на \(300 \, \text{м/с}\).