35.13. 1) Is it true that the expression (10 + x )(100 – 10x + x2) -33 – 500x is less than zero? 2) Can we conclude

Петя

1

Давайте разберем по порядку каждый вопрос и проверим, являются ли данные утверждения верными.

1) Для определения знака данного выражения, мы можем преобразовать его в квадратное уравнение относительно переменной \(x\):

\((10 + x)(100 – 10x + x^2) - 33 - 500x < 0\)

Раскроем скобки:

\(1000 + 100x - 1000x + 10x^2 + x^3 - 33 - 500x < 0\)

Упростим:

\(x^3 + 10x^2 - 1400x + 967 < 0\)

Мы должны найти интервалы, где это уравнение меньше нуля. Для этого давайте построим таблицу знаков:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
x & x^3 & 10x^2 & -1400x & 967 \\
\hline
-100 & -10^6 & 10^5 & 1.4 \times 10^7 & 967 \\
\hline
-10 & -10^3 & 10^3 & 1.4 \times 10^5 & 967 \\
\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 967 \\
\hline
10 & 10^3 & 10^3 & -1.4 \times 10^5 & 967 \\
\hline
100 & 10^6 & 10^5 & -1.4 \times 10^7 & 967 \\
\hline
\end{array}
\]

Наблюдая таблицу, мы видим, что уравнение меньше нуля на интервалах от \(-100\) до \(-10\) и от \(0\) до \(10\). Таким образом, утверждение верно: данное выражение меньше нуля.

2) Проведем аналогичные вычисления для второго уравнения:

\(-x^3 + 675x - (15 + x)(225 - 15x + x) > 0\)

Раскроем скобки:

\(-x^3 + 675x - 2250 + 15x^2 - 225x + 15x^2 - x^3 + 135x > 0\)

Упростим:

\(-2x^3 + 30x^2 + 585x - 2250 > 0\)

Составим таблицу знаков:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
x & -2x^3 & 30x^2 & 585x & -2250 \\
\hline
-100 & 2 \times 10^6 & 3 \times 10^5 & -5.85 \times 10^4 & -2250 \\
\hline
-10 & -2 \times 10^3 & 3 \times 10^3 & -5.85 \times 10^3 & -2250 \\
\hline
0 & 0 & 0 & 0 & -2250 \\
\hline
10 & -2 \times 10^3 & 3 \times 10^3 & 5.85 \times 10^3 & -2250 \\
\hline
100 & 2 \times 10^6 & 3 \times 10^5 & 5.85 \times 10^4 & -2250 \\
\hline
\end{array}
\]

Мы видим, что уравнение больше нуля на интервале от \(-10\) до \(0\). Таким образом, утверждение неверно: данное выражение не больше нуля.

3) Теперь рассмотрим третье уравнение:

\((169 + 13x + x^2)(x - 13) - x^3 - 2262x < 0\)

Раскроем скобки:

\(169x - 2197 + 13x^2 - 169x + x^3 - 2262x - x^3 - 2262x < 0\)

Упростим:

\(13x^2 - 4520x - 2197 < 0\)

Составим таблицу знаков:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x & 13x^2 & -4520x & -2197 \\
\hline
-100 & 1.3 \times 10^5 & 4.52 \times 10^4 & -2197 \\
\hline
-10 & 1.3 \times 10^3 & 4.52 \times 10^3 & -2197 \\
\hline
0 & 0 & 0 & -2197 \\
\hline
10 & 1.3 \times 10^3 & -4.52 \times 10^3 & -2197 \\
\hline
100 & 1.3 \times 10^5 & -4.52 \times 10^4 & -2197 \\
\hline
\end{array}
\]

Мы видим, что уравнение меньше нуля на интервале от \(-10\) до \(0\). Таким образом, утверждение верно: данное выражение меньше нуля.

4) Последнее уравнение:

\(1331x - 303 + (11 + x)(x^2 - 11x + 121) > 0\)

Раскроем скобки:

\(1331x - 303 + 11x^3 - 121x^2 + 1331x - 11x^2 - 121x + x^3 - 11x^2 + 121x^2 - 1331x > 0\)

Упростим:

\(12x^3 - 300x^2 + 848x - 303 > 0\)

Составим таблицу знаков:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
x & 12x^3 & -300x^2 & 848x & -303 \\
\hline
-100 & -1.2 \times 10^6 & 3 \times 10^5 & -8.48 \times 10^4 & -303 \\
\hline
-10 & -1.2 \times 10^3 & 3 \times 10^3 & -8.48 \times 10^2 & -303 \\
\hline
0 & 0 & 0 & 0 & -303 \\
\hline
10 & 1.2 \times 10^3 & -3 \times 10^3 & 8.48 \times 10^2 & -303 \\
\hline
100 & 1.2 \times 10^6 & -3 \times 10^5 & 8.48 \times 10^4 & -303 \\
\hline
\end{array}
\]

Мы видим, что уравнение больше нуля на интервале от \(-100\) до \(-10\) и от \(0\) до \(10\). Таким образом, утверждение верно: данное выражение больше нуля.

Вот наши ответы для каждой задачи:

1) Данное выражение меньше нуля.
2) Данное выражение не больше нуля.
3) Данное выражение меньше нуля.
4) Данное выражение больше нуля.