Перепишите следующие выражения в виде суммы: 2) cos 3b • cos 5b • cos 8b 4) 2 cos a • sin 2a • cos 6a 6) 16 sin a

Natalya

68

Решение:

2) Для переписывания данного выражения в виде суммы мы воспользуемся тригонометрической формулой произведения косинусов:

\[\cos a \cdot \cos b = \frac{1}{2}(\cos(a - b) + \cos(a + b))\]

Применим данную формулу к первому и третьему множителю выражения:

\[\cos 3b = \frac{1}{2}(\cos(3b - 8b) + \cos(3b + 8b)) = \frac{1}{2}(\cos(-5b) + \cos(11b))\]

\[\cos 8b = \frac{1}{2}(\cos(8b - 5b) + \cos(8b + 5b)) = \frac{1}{2}(\cos(3b) + \cos(13b))\]

Теперь подставим полученные значения обратно в исходное выражение:

\[\cos 3b \cdot \cos 5b \cdot \cos 8b = \frac{1}{2}(\cos(-5b) + \cos(11b)) \cdot \cos 5b \cdot \frac{1}{2}(\cos(3b) + \cos(13b))\]

Умножим каждое слагаемое выражения и сгруппируем их по степеням \(\cos b\):

\[\frac{1}{8}(\cos(-5b) \cdot \cos(3b) \cdot \cos(13b) + \cos(-5b) \cdot \cos(3b) \cdot \cos(5b) + \cos(-5b) \cdot \cos(13b) \cdot \cos(5b) + \cos(11b) \cdot \cos(3b) \cdot \cos(5b))\]

Таким образом, выражение \(cos 3b \cdot cos 5b \cdot cos 8b\) можно переписать в виде суммы:

\[\frac{1}{8}(\cos(-5b) \cdot \cos(3b) \cdot \cos(13b) + \cos(-5b) \cdot \cos(3b) \cdot \cos(5b) + \cos(-5b) \cdot \cos(13b) \cdot \cos(5b) + \cos(11b) \cdot \cos(3b) \cdot \cos(5b))\]

4) Аналогично предыдущей задаче, мы воспользуемся тригонометрической формулой произведения косинуса и синуса:

\[\cos a \cdot \sin b = \frac{1}{2}(\sin(a + b) + \sin(a - b))\]

Применим данную формулу к первому и третьему множителю выражения:

\[2 \cos a = 2 \cdot \frac{1}{2}(\cos(a + 6a) + \cos(a - 6a)) = \cos(7a) + \cos(-5a)\]

\[\sin 2a = \frac{1}{2}(\sin(2a + 0) + \sin(2a - 0)) = \frac{1}{2}(\sin(2a) + \sin(2a)) = \sin(2a) + \sin(2a)\]

\[\cos 6a = \frac{1}{2}(\cos(6a + 0) + \cos(6a - 0)) = \frac{1}{2}(\cos(6a) + \cos(6a)) = \cos(6a) + \cos(6a)\]

Теперь подставим полученные значения обратно в исходное выражение:

\[2 \cos a \cdot \sin 2a \cdot \cos 6a = (\cos(7a) + \cos(-5a)) \cdot (\sin(2a) + \sin(2a)) \cdot (\cos(6a) + \cos(6a))\]

Умножим каждое слагаемое выражения и сгруппируем их:

\[(\cos(7a) \cdot \sin(2a) \cdot \cos(6a) + \cos(7a) \cdot \sin(2a) \cdot \cos(6a) + \cos(-5a) \cdot \sin(2a) \cdot \cos(6a) + \cos(-5a) \cdot \sin(2a) \cdot \cos(6a))\]

Итак, выражение \(2 \cos a \cdot \sin 2a \cdot \cos 6a\) можно переписать в виде суммы:

\[(\cos(7a) \cdot \sin(2a) \cdot \cos(6a) + \cos(7a) \cdot \sin(2a) \cdot \cos(6a) + \cos(-5a) \cdot \sin(2a) \cdot \cos(6a) + \cos(-5a) \cdot \sin(2a) \cdot \cos(6a))\]

6) Аналогично предыдущим задачам, мы воспользуемся тригонометрическими формулами:

\[\sin a \cdot \cos b = \frac{1}{2}(\sin(a + b) + \sin(a - b))\]

\[\sin a \cdot \cos 2a = \frac{1}{2}(\sin(a + 2a) + \sin(a - 2a)) = \frac{1}{2}(\sin(3a) + \sin(-a)) = \frac{1}{2}(\sin(3a) - \sin(a))\]

\[16 \sin a \cdot \cos 2a = 16(\frac{1}{2}(\sin(3a) - \sin(a))) = 8(\sin(3a) - \sin(a))\]

Итак, выражение \(16 \sin a \cdot \cos 2a\) можно переписать в виде суммы:

\[8(\sin(3a) - \sin(a))\]

Надеюсь, это решение ясно и понятно. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!