❤️❤️❤️ 4. Докажите, что треугольник PМK является прямоугольным, при условии заданных координат его вершин P(-1;5;3

Baska

21

Чтобы доказать, что треугольник PMK является прямоугольным, нам необходимо убедиться, что одна из его сторон является перпендикуляром к другой стороне. Давайте начнем с рассмотрения сторон треугольника.

Сторона PM:
P(-1;5;3)
M(-1;-3;9)

Чтобы найти вектор PM, вычитаем координаты точки P из координат точки M:
\(\overrightarrow{PM} = M - P = (-1;-3;9) - (-1;5;3) = (-1+1;-3-5;9-3) = (0;-8;6)\)

Сторона PK:
P(-1;5;3)
K(3;-2;6)

Чтобы найти вектор PK, вычитаем координаты точки P из координат точки K:
\(\overrightarrow{PK} = K - P = (3;-2;6) - (-1;5;3) = (3+1;-2-5;6-3) = (4;-7;3)\)

Теперь проверим, перпендикулярны ли эти два вектора PM и PK. Для этого вычислим их скалярное произведение:

\(\overrightarrow{PM} \cdot \overrightarrow{PK} = (0;-8;6) \cdot (4;-7;3) = 0 \cdot 4 + (-8) \cdot (-7) + 6 \cdot 3 = 0 + 56 + 18 = 74\)

Если скалярное произведение векторов равно нулю, то они перпендикулярны. В нашем случае скалярное произведение равно 74, что не равно нулю. Значит, треугольник PMK не является прямоугольным.

Теперь найдем длину медианы треугольника, проведенной из вершины прямого угла K. Медиана треугольника -- это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Найдем середину стороны PM:
\(X_{PM} = \left(\frac{{P_x + M_x}}{2}; \frac{{P_y + M_y}}{2}; \frac{{P_z + M_z}}{2}\right) = \left(\frac{{-1 + (-1)}}{2}; \frac{{5 + (-3)}}{2}; \frac{{3 + 9}}{2}\right) = \left(-1; 1; 6\right)\)

Теперь найдем длину медианы KM. Для этого вычислим расстояние между точками K и X_{PM}:
\(d(K, X_{PM}) = \sqrt{(K_x - X_{PM_x})^2 + (K_y - X_{PM_y})^2 + (K_z - X_{PM_z})^2}\)

Расстояние между точками:
\(d(K, X_{PM}) = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (-2 - 1)^2 + (6 - 6)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 9 + 0} = \sqrt{25} = 5\)

Таким образом, длина медианы треугольника PMK, проведенной из вершины прямого угла K, равна 5.