Найти значение угла между прямой cd1 и плоскостью bb1c1 в заданном кубе abcda1b1c1

Барбос

48

Хорошо, давайте решим задачу по поиску значения угла между прямой cd1 и плоскостью bb1c1 в заданном кубе abcda1b1c1.

Для начала давайте определим некоторые основные понятия. В данной задаче у нас есть куб abcda1b1c1 со сторонами ab=ad=a1b1=a1c1=bc1=55 см. Прямая cd1 проходит через вершину c и точку d1 на грани a1b1c1. Плоскость bb1c1 проходит через вершины b, b1 и c1.

Чтобы решить задачу, нам понадобятся знания о геометрии и тригонометрии.

Шаг 1: Определение векторов

Вектор cd1: Для начала, нам нужно определить направляющий вектор прямой cd1. Для этого воспользуемся координатами вершин куба. Вектор cd1 можно получить вычитанием координат точек c(xc, yc, zc) и d1(xd1, yd1, zd1):

\(\vec{cd1} = \vec{d1} - \vec{c} = (xd1 - xc, yd1 - yc, zd1 - zc)\)

Вектор bb1c1: Теперь нам нужно определить вектор, перпендикулярный плоскости bb1c1. Поскольку плоскость проходит через вершины b, b1 и c1, мы можем взять векторное произведение векторов \(\vec{b1b}\) и \(\vec{b1c1}\), чтобы получить вектор, перпендикулярный плоскости:

\(\vec{bb1c1} = \vec{b1b} \times \vec{b1c1}\)

Шаг 2: Нахождение значения угла

Теперь, когда у нас есть векторы \(\vec{cd1}\) и \(\vec{bb1c1}\), мы можем использовать скалярное произведение для нахождения значения угла \(\theta\) между ними:

\(\cos(\theta) = \frac{{\vec{cd1} \cdot \vec{bb1c1}}}{{|\vec{cd1}| \cdot |\vec{bb1c1}|}}\)

где \(\vec{cd1} \cdot \vec{bb1c1}\) - скалярное произведение векторов \(\vec{cd1}\) и \(\vec{bb1c1}\),
а \(|\vec{cd1}|\) и \(|\vec{bb1c1}|\) - длины этих векторов соответственно.

Шаг 3: Вычисление значения угла

Теперь нам нужно вычислить скалярное произведение векторов и их длины для нахождения значения угла \(\theta\):

\(\vec{cd1} = (xd1 - xc, yd1 - yc, zd1 - zc)\)

\(\vec{bb1c1} = \vec{b1b} \times \vec{b1c1}\)

\(\vec{cd1} \cdot \vec{bb1c1} = (xd1 - xc, yd1 - yc, zd1 - zc) \cdot \vec{bb1c1}\)

\(= (xd1 - xc) \cdot (\vec{b1b} \times \vec{b1c1}_x) + (yd1 - yc) \cdot (\vec{b1b} \times \vec{b1c1}_y) + (zd1 - zc) \cdot (\vec{b1b} \times \vec{b1c1}_z)\)

\(= (xd1 - xc) \cdot \vec{b1b}_x \cdot \vec{b1c1}_z - (xd1 - xc) \cdot \vec{b1b}_z \cdot \vec{b1c1}_x + (yd1 - yc) \cdot \vec{b1b}_z \cdot \vec{b1c1}_y - (yd1 - yc) \cdot \vec{b1b}_y \cdot \vec{b1c1}_z + (zd1 - zc) \cdot \vec{b1b}_x \cdot \vec{b1c1}_y - (zd1 - zc) \cdot \vec{b1b}_y \cdot \vec{b1c1}_x\)

\(= (xd1 - xc) \cdot (\vec{b1c1}_z \cdot \vec{b1b}_x - \vec{b1c1}_x \cdot \vec{b1b}_z) + (yd1 - yc) \cdot (\vec{b1b}_z \cdot \vec{b1c1}_y - \vec{b1c1}_z \cdot \vec{b1b}_y) + (zd1 - zc) \cdot (\vec{b1b}_x \cdot \vec{b1c1}_y - \vec{b1b}_y \cdot \vec{b1c1}_x)\)

\(= (xd1 - xc) \cdot \Delta_x + (yd1 - yc) \cdot \Delta_y + (zd1 - zc) \cdot \Delta_z\)

где \(\Delta_x = \vec{b1c1}_z \cdot \vec{b1b}_x - \vec{b1c1}_x \cdot \vec{b1b}_z\),
\(\Delta_y = \vec{b1b}_z \cdot \vec{b1c1}_y - \vec{b1c1}_z \cdot \vec{b1b}_y\) и
\(\Delta_z = \vec{b1b}_x \cdot \vec{b1c1}_y - \vec{b1b}_y \cdot \vec{b1c1}_x\).

\(|\vec{cd1}| = \sqrt{(xd1 - xc)^2 + (yd1 - yc)^2 + (zd1 - zc)^2}\)

\(|\vec{bb1c1}| = \sqrt{\Delta_x^2 + \Delta_y^2 + \Delta_z^2}\)

Теперь мы можем вычислить значение угла \(\theta\) с использованием найденных выше значений:

\(\cos(\theta) = \frac{{\vec{cd1} \cdot \vec{bb1c1}}}{{|\vec{cd1}| \cdot |\vec{bb1c1}|}}\)