4. Каково решение системы неравенств: {х^2-х + 6> 0 (х-5) (х

Станислав

35

Для решения данной системы неравенств нам нужно разложить неравенство на отдельные неравенства и найти их решения, а затем объединить полученные решения.

1. Разложение неравенства \(x^2 - x + 6 > 0\) на отдельные неравенства:
Поскольку данный квадратный трёхчлен не может быть факторизован в виде произведения двух линейных множителей, мы воспользуемся графическим методом или методом дискриминанта.

* Графический метод: построим график функции \(y = x^2 - x + 6\) и найдем интервалы, на которых функция положительна.
1. Парабола \(y = x^2 - x + 6\) открывается вверх и не пересекает ось Ox (дискриминант отрицателен). Следовательно, функция положительна на всей числовой прямой.
2. Таким образом, первое неравенство имеет решение: \(x \in (-\infty, +\infty)\).

* Метод дискриминанта: найдем значения \(D\) и \(x_1\) для уравнения \(x^2 - x + 6 = 0\).
1. Найдем дискриминант \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25\).
2. Поскольку \(D\) положительный, уравнение имеет два различных корня \(x_1\) и \(x_2\) по формуле \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).
3. Получаем \(x_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3\), \(x_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{1 - 5}{2} = -2\).
4. Нарисуем ось чисел и отметим на ней корни уравнения: -2 и 3.
Видим, что интервал (-2, 3) не содержит ни одного из корней и потому не удовлетворяет уравнению.
Таким образом, неравенство \(x^2 - x + 6 > 0\) верно для всех значений переменной \(x\).

В итоге, первая часть системы неравенств имеет одно решение: \(x \in (-\infty, +\infty)\).

2. Разложение неравенства \((x-5)(x+2) < 0\) на отдельные неравенства:
Для решения данного неравенства воспользуемся методом интервалов.

1. Найдем корни уравнения \((x-5)(x+2) = 0\). Положим каждый множитель равным нулю и найдем значения переменной \(x\).
* \(x - 5 = 0\) ⇒ \(x = 5\).
* \(x + 2 = 0\) ⇒ \(x = -2\).
2. Отметим эти корни на числовой прямой.
3. Выберем тестовую точку в каждом из трех интервалов: \((- \infty, -2)\), \((-2, 5)\), и \((5, +\infty)\).
4. Подставим значения тестовой точки в исходное неравенство и определим знак:
* Для тестовой точки \(x = -3\) неравенство превращается в \((-3-5)(-3+2) < 0\) ⇒ \((-8) < 0\), что верно.
* Для тестовой точки \(x = 0\) неравенство превращается в \((0-5)(0+2) < 0\) ⇒ \((-10) < 0\), что верно.
* Для тестовой точки \(x = 6\) неравенство превращается в \((6-5)(6+2) < 0\) ⇒ \((1)(8) < 0\), что неверно.
5. Исходя из результатов знака, получаем, что корни \(x = -2\) и \(x = 5\) разделяют числовую прямую на три интервала с разными знаками:
* Для интервала \((- \infty, -2)\) неравенство выполняется, так как имеет отрицательный знак.
* Для интервала \((-2, 5)\) неравенство не выполняется, так как имеет положительный знак.
* Для интервала \((5, +\infty)\) неравенство выполняется, так как имеет отрицательный знак.
6. Собираем интервалы вместе и получаем решение второй части системы неравенств: \(x \in (- \infty, -2) \cup (5, +\infty)\).

В итоге, решение системы неравенств будет следующим: \(x \in (- \infty, -2) \cup (5, +\infty)\).