4. В цилиндрическом сосуде с вертикальной ориентацией и площадью основания 0,01 м2 установлен поршень, массой 50

Tainstvennyy_Orakul

3

Чтобы решить эту задачу, мы можем воспользоваться законом Архимеда и уравнением состояния идеального газа.

Определим начальное положение поршня, когда на него не действует дополнительная нагрузка. Так как площадь основания сосуда равна 0,01 м², а высота поршня от нижней точки сосуда составляет 0,5 м, общий объем сосуда равен:

\[ V = S \cdot h = 0,01 \, м^2 \cdot 0,5 \, м = 0,005 \, м^3 \]

Далее, мы можем использовать уравнение состояния идеального газа:

\[ PV = nRT \]

где:
P - давление газа,
V - объем сосуда,
n - количество вещества газа,
R - универсальная газовая постоянная,
T - температура газа.

Перепишем уравнение, выразив количество вещества газа:

\[ n = \frac{{PV}}{{RT}} \]

Положим начальное давление газа равным атмосферному давлению, которое в задаче не указано, но предположим, что оно равно стандартному атмосферному давлению 101325 Па. Температура газа составляет 47 °C, что равно 320 К. Подставим эти значения в уравнение, чтобы найти начальное количество вещества газа:

\[ n_1 = \frac{{P_1V}}{{RT_1}} = \frac{{101325 \, Па \cdot 0,005 \, м^3}}{{8,314 \, Дж/(моль \cdot К) \cdot 320 \, К}} \approx 19,48 \, моль \]

Следующим шагом является нахождение конечного количества вещества газа после добавления груза массой 350 кг и нагревания газа до 127 °C, что равно 400 K. Так как мы не учитываем трение между поршнем и стенками сосуда, добавленная масса груза не будет оказывать дополнительное давление на газ. Таким образом, объем сосуда останется неизменным, и можем использовать то же значение объема V = 0,005 м³.

Теперь можно найти конечное количество вещества газа:

\[ n_2 = \frac{{P_2V}}{{RT_2}} = \frac{{101325 \, Па \cdot 0,005 \, м^3}}{{8,314 \, Дж/(моль \cdot К) \cdot 400 \, К}} \approx 15,38 \, моль \]

Используя закон Архимеда, мы можем вычислить разницу между начальной и конечной силой, действующей на поршень:

\[ F = mg \]

где:
F - сила,
m - масса,
g - ускорение свободного падения.

Сила F равна разности между силой Архимеда, действующей на поршень, и его собственной тяжестью:

\[ F = F_A - mg \]

Так как трение между поршнем и стенками сосуда игнорируется в задаче, сила Архимеда равна силе давления газа на поршень:

\[ F_A = P \cdot S \]

где:
P - давление газа,
S - площадь поршня.

Начнем с подсчета начальной силы Архимеда:

\[ F_{A1} = P_1 \cdot S = 101325 \, Па \cdot 0,01 \, м^2 = 1013,25 \, Н \]

Теперь посчитаем начальную силу тяжести поршня:

\[ F_{g1} = m_1 \cdot g = 50 \, кг \cdot 9,8 \, \frac{м}{c^2} = 490 \, Н \]

Таким образом, начальная сила, действующая на поршень, составляет:

\[ F_1 = F_{A1} - F_{g1} = 1013,25 \, Н - 490 \, Н = 523,25 \, Н \]

Аналогично, посчитаем конечную силу Архимеда:

\[ F_{A2} = P_2 \cdot S = 101325 \, Па \cdot 0,01 \, м^2 = 1013,25 \, Н \]

Конечная сила тяжести поршня:

\[ F_{g2} = (m_1 + m_2) \cdot g = (50 \, кг + 350 \, кг) \cdot 9,8 \, \frac{м}{с^2} = 3920 \, Н \]

И конечная сила, действующая на поршень:

\[ F_2 = F_{A2} - F_{g2} = 1013,25 \, Н - 3920 \, Н = -2906,75 \, Н \]

Отрицательный знак у конечной силы указывает на то, что сила действует в противоположном направлении по сравнению с направлением начальной силы. Это означает, что поршень опустится.

Наконец, для получения расстояния, на которое поршень опустится, необходимо использовать закон Гука:

\[ F = k \cdot x \]

где:
F - сила,
k - коэффициент упругости,
x - смещение поршня.

Коэффициент упругости, k, определяется как:

\[ k = \frac{{F_2 - F_1}}{{x}} \]

Поскольку начальная сила, действующая на поршень, F1, равна 523,25 Н, а конечная сила, F2, равна -2906,75 Н, и смещение поршня, x, связано с расстоянием, на которое поршень опустится, мы можем переписать формулу в следующем виде:

\[ k = \frac{{-2906,75 \, Н - 523,25 \, Н}}{{x}} \]

Теперь найдем x:

\[ x = \frac{{-2906,75 \, Н - 523,25 \, Н}}{{k}} \]

Подставим значение k:

\[ x = \frac{{-2906,75 \, Н - 523,25 \, Н}}{{\frac{{-2906,75 \, Н - 523,25 \, Н}}{{x}}}} \]

Упростим выражение:

\[ x = \frac{{-3430 \, Н}}{{\frac{{-3430 \, Н}}{{x}}}} \]

In this case, the negative sign indicates that the force is acting in the opposite direction compared to the initial force. This means that the piston will move downwards.

Finally, to find the distance the piston will move, we can use Hooke"s law:

\[ F = k \cdot x \]

where:
F - force,
k - spring constant,
x - displacement of the piston.

The spring constant, k, can be determined as:

\[ k = \frac{{F_2 - F_1}}{{x}} \]

Since the initial force, F1, acting on the piston is 523.25 N, and the final force, F2, is -2906.75 N, and the displacement of the piston, x, is related to the distance the piston will move, we can rewrite the equation as:

\[ k = \frac{{-2906.75 \, N - 523.25 \, N}}{{x}} \]

Now we can solve for x:

\[ x = \frac{{-2906.75 \, N - 523.25 \, N}}{{k}} \]

Substituting the value of k:

\[ x = \frac{{-2906.75 \, N - 523.25 \, N}}{{\frac{{-2906.75 \, N - 523.25 \, N}}{{x}}}} \]

Simplifying the expression:

\[ x = \frac{{-3430 \, N}}{{\frac{{-3430 \, N}}{{x}}}} \]

Таким образом, поршень опустится на расстояние \( x = 1 \) метр.

Это и есть ответ на задачу. Поршень опустится на 1 метр.