5. Имеются векторы р-5; 5), (3; 4) и д(3; a). Найдите: а) значение косинуса между векторами ри; b) неизвестное значение

Roza

49

Хорошо, давайте решим задачу поэтапно.

а) Для того чтобы найти значение косинуса между векторами р и и, мы можем использовать следующую формулу:

\[\cos(\theta) = \frac{{\textbf{р} \cdot \textbf{и}}}{{\lVert\textbf{р}\rVert \cdot \lVert\textbf{и}\rVert}}\]

где \(\textbf{р} \cdot \textbf{и}\) означает скалярное произведение векторов р и и, а \(\lVert\textbf{р}\rVert\) и \(\lVert\textbf{и}\rVert\) представляют длины данных векторов.

Для заданных векторов р( -5, 5) и и(3, 4), скалярное произведение будет равно:

\(\textbf{р} \cdot \textbf{и} = (-5 \cdot 3) + (5 \cdot 4) = -15 + 20 = 5\)

А длины данных векторов можно найти следующим образом:

\(\lVert\textbf{р}\rVert = \sqrt{(-5)^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\)

\(\lVert\textbf{и}\rVert = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)

Подставив полученные значения в формулу, мы можем вычислить значение косинуса \(\theta\):

\(\cos(\theta) = \frac{5}{{5\sqrt{2} \cdot 5}} = \frac{1}{{\sqrt{2}}}\)

Таким образом, значение косинуса между векторами р и и равно \(\frac{1}{{\sqrt{2}}}\).

б) Теперь рассмотрим векторы р( -5, 5) и д(3, a). Для того чтобы сказать, что они коллинеарны, необходимо, чтобы их координаты были пропорциональны.

Так как пропорциональность означает, что \(\frac{-5}{3} = \frac{5}{a}\), мы можем решить эту пропорцию:

\(\frac{-5}{3} = \frac{5}{a}\)

Умножим обе стороны на \(3a\) для того, чтобы избавиться от дробей:

\(-5a = 15\)

Теперь разделим обе стороны на \(-5\), чтобы найти значение a:

\(a = \frac{15}{-5} = -3\)

Таким образом, если векторы д и р коллинеарны, то значение а будет равно -3.

с) Теперь рассмотрим векторы р( -5, 5) и р( -5, a). Чтобы сказать, что они перпендикулярны, необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.

Так как скалярное произведение равно \(\textbf{р} \cdot \textbf{р}_0 = (-5 \cdot -5) + (5 \cdot a) = 25 + 5a\), нам нужно найти значение a, при котором \(\textbf{р} \cdot \textbf{р}_0\) будет равно нулю.

Решим уравнение:

\(25 + 5a = 0\)

Вычтем 25 из обеих сторон:

\(5a = -25\)

Разделим обе стороны на 5:

\(a = -5\)

Таким образом, если векторы р и р_0 перпендикулярны, то значение а будет равно -5.

Я надеюсь, что объяснение было понятным и полезным. Если остались еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.