5. Каково расстояние между центрами двух окружностей, радиусы которых равны 2 и 7, соответственно, и которые вписаны

Валентиновна

32

Для решения задачи №5 нам потребуется использовать геометрические свойства вписанных углов и свойства радиусов окружностей.

По условию задачи у нас имеется две окружности, с радиусами 2 и 7, и угол между ними составляет 60°.

Для начала определим длину хорды, которая соответствует этому углу. Для этого воспользуемся формулой для нахождения длины хорды по центральному углу:

\[L = 2 \cdot R \cdot \sin(\frac{\alpha}{2})\]

где L - длина хорды, R - радиус окружности, а \(\alpha\) - центральный угол, измеряемый в радианах.

Мы знаем, что радиус первой окружности R1 = 2, и центральный угол \(\alpha\) = 60° = \(\frac{\pi}{3}\) радиан. Подставляя значения в формулу, получаем:

\[L1 = 2 \cdot 2 \cdot \sin(\frac{\pi}{6}) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2\]

Аналогично для второй окружности, с радиусом R2 = 7, длина хорды будет:

\[L2 = 2 \cdot 7 \cdot \sin(\frac{\pi}{6}) = 14 \cdot \frac{1}{2} = 7\]

Теперь найдем длину хорды, соединяющую центры окружностей. Для этого воспользуемся теоремой косинусов для треугольника:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cdot\cos(\gamma)\]

где c - длина третьей стороны треугольника, связавшей центры окружностей, a и b - длины сторон треугольника, являющихся радиусами окружностей, а \(\gamma\) - угол между этими сторонами.

В нашем случае a = R1 = 2, b = R2 = 7, и угол \(\gamma\) равен 60° = \(\frac{\pi}{3}\) радиан.

\[c^2 = 2^2 + 7^2 - 2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot \cos(\frac{\pi}{3}) = 4 + 49 - 28 \cdot \frac{1}{2} = 4 + 49 - 14 = 39\]

Следовательно, длина хорды, соединяющая центры окружностей, равна \(\sqrt{39}\).

Из этого следует, что расстояние между центрами окружностей равно \(\sqrt{39}\).

Поздравляю! Мы нашли ответ для задачи №5.

Теперь перейдем к задаче №6.

Здесь важно знать два свойства окружностей и касательных.

1) Перпендикуляр, проведенный из точки касания к окружности, проходит через центр окружности.
2) Точка касания и точка пересечения перпендикуляра с окружностью образуют равнобедренный треугольник.

По условию задачи у нас имеется окружность с радиусом R = 1 и точки А, В и С, где А и В - точки пересечения перпендикуляра с окружностью, С - точка, находящаяся на этой касательной и не являющаяся точкой пересечения.

Мы знаем, что AB = BC и R = 1.

По свойству №2 треугольник ABC равнобедренный, и можно сказать, что AC = BC = 1.

Ответ для задачи №6: длина отрезка AC равна 1.

Перейдем к последней задаче №7.

Здесь нам дано, что общая внутренняя касательная к двум окружностям образует угол 30° со линией, соединяющей их центры. Один из радиусов в 2 раза больше другого, а расстояние между центрами окружностей равно 30.

По условию задачи у нас есть окружности с радиусами R1 и R2, где R1 = 2R2, и расстояние между их центрами равно 30.

Мы должны найти значения R1 и R2.

Воспользуемся теоремами косинусов и синусов для нахождения этих значений.

Рассмотрим треугольник, образованный радиусами окружностей и линией, соединяющей их центры.

Пусть С - точка пересечения двух радиусов, А - центр первой окружности, В - центр второй окружности.

Мы знаем, что у нас есть два равнобедренных треугольника CВС и САВ.

Так как BC = CA (по условию задачи), то угол СВС равен углу BAC, а значит, угол СВА равен \(\frac{1}{2}\) угла между радиусами.

Так как BC = CA и AC = 30 (по условию задачи), то угол BCA равен 150°. А значит, угол CBA равен 150° / 2 = 75°.

Мы знаем, что один из радиусов в 2 раза больше другого. Пусть R2 - меньший радиус, тогда R1 = 2R2.

Теперь рассмотрим треугольник BCВ и воспользуемся теоремой синусов для нахождения отношения радиусов:

\[\frac{R2}{\sin(75^\circ)} = \frac{30}{\sin(30^\circ)}\]

Так как \(\sin(75^\circ) = \sin(180^\circ - 75^\circ) = \sin(105^\circ)\), а \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\), получаем:

\[\frac{R2}{\sin(105^\circ)} = \frac{30}{\frac{1}{2}}\]

Дальше разрешим данное уравнение относительно R2:

\[R2 = \frac{30 \cdot \sin(105^\circ)}{\frac{1}{2}}\]

\[\frac{R2}{2} = 30 \cdot \sin(105^\circ)\]

\[R2 = 60 \cdot \sin(105^\circ)\]

Так как R1 = 2R2, получаем:

\[R1 = 2 \cdot 60 \cdot \sin(105^\circ)\]

\[R1 = 120 \cdot \sin(105^\circ)\]

Ответ для задачи №7: радиусы окружностей равны \(R1 = 120 \cdot \sin(105^\circ)\) и \(R2 = 60 \cdot \sin(105^\circ)\).

Мы рассмотрели все задачи и дали подробные пошаговые решения. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.