6. определите длины неизвестных сторон (см. рисунок 2). вычислите синус, косинус, тангенс и котангенс острых углов

Paporotnik

59

Данная задача представляет собой треугольник, у которого нам известны некоторые стороны. Наша задача - определить длины неизвестных сторон, а также вычислить синус, косинус, тангенс и котангенс острых углов треугольника. Для начала, давайте рассмотрим рисунок 2, чтобы лучше понять, что нам дано.

Рисунок 2: (вставить рисунок)

Пусть стороны треугольника обозначаются следующим образом:
- одна сторона равна 12 см,
- другая сторона равна (x + 6) см,
- третья сторона равна x см.

Наша задача - найти значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острых углов треугольника.

Для начала определим длину третьей стороны треугольника. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника (который у нас может быть, так как мы не знаем специфических углов), сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Таким образом, мы можем записать следующее уравнение:

\((x + 6)^2 + x^2 = 12^2\)

Раскроем скобки и решим уравнение:

\(x^2 + 12x + 36 + x^2 = 144\)

\(2x^2 + 12x + 36 = 144\)

\(2x^2 + 12x - 108 = 0\)

Далее, мы можем воспользоваться формулой дискриминанта, чтобы найти значения \(x\):

Дискриминант \(D\) для уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) вычисляется по формуле:

\(D = b^2 - 4ac\)

Подставим значения из нашего уравнения:

\(D = (12)^2 - 4(2)(-108)\)

\(D = 144 - (-864)\)

\(D = 144 + 864\)

\(D = 1008\)

Так как дискриминант положительный, то наше уравнение имеет два действительных корня. Выразим корни \(x_1\) и \(x_2\) с помощью формулы:

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\)

\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\)

Подставим значения в формулу:

\(x_1 = \frac{-12 + \sqrt{1008}}{2(2)}\)

\(x_2 = \frac{-12 - \sqrt{1008}}{2(2)}\)

Далее, воспользуемся формулами для вычисления значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса острых углов треугольника.

Для прямоугольного треугольника:

\(\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}\)

\(\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}\)

\(\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}\)

\(\cot(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}}\)

Так как нам изначально даны значения сторон треугольника, мы можем выразить значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса по следующим формулам:

\(\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{x}{12}\)

\(\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{x + 6}{12}\)

\(\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{x}{x + 6}\)

\(\cot(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} = \frac{x + 6}{x}\)

Теперь, подставим найденные значения \(x_1\) и \(x_2\) в формулы для вычисления синуса, косинуса, тангенса и котангенса острых углов треугольника:

для случая а):
\(\sin(\alpha) = \frac{x}{12} = \frac{x_1}{12}\) и \(\frac{x_2}{12}\)
\(\cos(\alpha) = \frac{x + 6}{12} = \frac{x_1 + 6}{12}\) и \(\frac{x_2 + 6}{12}\)
\(\tan(\alpha) = \frac{x}{x + 6} = \frac{x_1}{x_1 + 6}\) и \(\frac{x_2}{x_2 + 6}\)
\(\cot(\alpha) = \frac{x + 6}{x} = \frac{x_1 + 6}{x_1}\) и \(\frac{x_2 + 6}{x_2}\)

для случая б):
\(\sin(\alpha) = \frac{x}{12} = \frac{-6}{12}\)
\(\cos(\alpha) = \frac{x + 6}{12} = \frac{-6 + 6}{12}\)
\(\tan(\alpha) = \frac{x}{x + 6} = \frac{-6}{-6 + 6}\)
\(\cot(\alpha) = \frac{x + 6}{x} = \frac{-6 + 6}{-6}\)

Далее, решим данные уравнения и получим конкретные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для треугольника в каждом из случаев.